Lösung von Aufg. 7.3P (WS 13/14)
Gegeben seien drei paarweise verschiedene und kollineare Punkte A, B und C in einer Ebene E. Ferner sei eine Gerade g Teilmenge der Ebene E, wobei keiner der Punkte A, B und C auf g liegen möge. Beweisen Sie folgenden Zusammenhang:
$ {\overline {AB}}\cap g=\lbrace \rbrace \wedge {\overline {BC}}\cap g=\lbrace \rbrace \Rightarrow {\overline {AC}}\cap g=\lbrace \rbrace $
(Hinweis: Nehmen Sie einen weiteren Punkt D an, mit $ {\overline {AD}}\cap g\not =\lbrace \rbrace $ und nutzen Sie den Satz von Pasch)
Verstehe nicht wirklich warum wir noch den vierten Punkt D brauchen. Man kann auch ohne den zusätzlichen Punkt zeigen, dass die Behauptung stimmt.
Voraussetzung: $ {\overline {AB}}\cap g=\lbrace \rbrace \wedge {\overline {BC}}\cap g=\lbrace \rbrace \ $
Behauptung: $ {\overline {AC}}\cap g=\lbrace \rbrace $
Annahme: $ {\overline {AC}}\cap g\not =\lbrace \rbrace $
| Nr. | Schritt | Begründung | |
|---|---|---|---|
| 1. | $ {\overline {AC}}\cap g\not =\lbrace \rbrace $ | Annahme | |
| 3. | Wenn die Gerade g eine Seite schneidet, dann schneidet sie genau eine weitere Seite des Dreiecks. Gerade g schneidet entweder $ {\overline {AB}} $ oder $ {\overline {BC}} $ | Satz von Pasch | |
| 4. | $ {\overline {AB}}\cap g=\lbrace \rbrace \wedge {\overline {BC}}\cap g=\lbrace \rbrace \ $ |
Voraussetzung | |
| 5. | Die Annahme ist zu verwerfen, die Behauptung stimmt. | 3),4) |
--Picksel (Diskussion) 11:05, 18. Jun. 2014 (CEST)
Der Beweis ist so nicht möglich, da du in Schritt 3 den Satz von Pasch anwendest. Dieser gilt aber nur bei Dreiecken. A, B und C sind aber kollinear.--Tutorin Anne (Diskussion) 09:06, 1. Jul. 2014 (CEST)
