Lösung von Aufgabe 1.4 (WS 16 17)

Prüfen Sie, welche der folgenden Mengen identisch sind und welche Teilmengenbeziehungen bestehen.

$S_1:$ Menge aller Vierecke mit vier kongruenten Winkeln

$S_2:$ Menge aller Vierecke mit gleich langen, einander halbierenden Diagonalen

$S_3:$ Menge aller Vierecke mit zwei Paaren paralleler Gegenseiten und einem rechten Winkel

<popup name="Lösung von AlanTu"> $S_1=S_2=S_3=\text{Menge aller Rechtecke}$

Zu $S_1$: Laut des Innenwinkelsatzes für Vierecke beträgt die Summe der Innenwinkel $360^{\circ }$, somit hat ein Dreieck mit vier gleich großen Winkeln („kongruent“ kenne ich nur für geometrische Figuren, bei Winkeln hört sich das für mich komisch an) vier Winkel mit je $\frac{360^{\circ }}{4}=90^{\circ }$, ist also ein Rechteck.

die Winkel-, Strecken- und Dreieckskongruenz werden wir im Laufe der Veranstaltung noch kennenlernen!--~~~~

Zu $S_2$: Vierecke mit gleich langen sich halbierenden Diagonalen werden von den Diagonalen in vier Dreiecke mit den folgenden Eigenschaften aufgeteilt:

• Alle vier Dreiecke sind gleichschenklig, da die Diagonalen und somit auch die Diagonalhälften gleich lang sind.
• Fasst man zwei nebeneinander liegende Dreiecke zu einem großen Dreieck zusammen, ergibt sich die Innenwinkelsumme aus den beiden gleich großen Basiswinkeln $\alpha$ des einen Dreiecks plus den beiden gleich großen Basiswinkeln des anderen Dreiecks $\beta$ als $2\cdot \alpha +2\cdot \beta =180^{\circ }⟺\alpha +\beta =90^{\circ }$. Da ein Winkel des großen Dreiecks sich aus $\alpha \text{ und }\beta$ zusammensetzt, ist das große Dreieck also ein rechtwinkliges Dreieck. Da das für alle Paarungen von nebeneinanderliegenden Dreiecken gilt, sind die vier Innenwinkel des gesamten Vierecks rechtwinklig
• Das Viereck ist also ein Rechteck

Zu $S_3$: Da das Viereck zwei Paare paralleler Gegenseiten besitzt, ist es also ein Parallelogramm. Im Parallelogramm ergänzen sich benachbarte Winkel immer auf $180^{\circ }$, also müssen die benachbarten Winkel eines rechten Winkels ebenfalls rechte Winkel sein. Und der vierte Winkel ist dann wieder ein Nachbarwinkel, beträgt also ebenfalls $90^{\circ }$.

(Diese drei Absätze zeigen nur, dass gilt: $S_i\subseteq \{x|x\text{ ist ein Rechteck}\}\text{ für }i\in \{1,2,3\}$. Die Umkehrung gilt zwar ebenso, auf den Beweis der Umkehrung verzichte ich an dieser Stelle aber.) </popup>--AlanTu (Diskussion) 19:47, 24. Okt. 2016 (CEST)