Lösung von Aufgabe 5.4 P (WS 16 17)

Entscheiden Sie für die folgenden Relationen, ob es sich um reflexive, symmetrische sowie transitive Relationen handelt?

• Parallelität von Geraden der Ebene
• Kongruenz geometrischer Figuren
• Teilbarkeit in $\mathbb{\mathbb{N}}$
• Kleinerrelation in $\mathbb{ℝ}$
• Größer-Gleich-Relation in $\mathbb{ℝ}$
• Ungleichheit in $\mathbb{ℝ}$

---

Zum Anzeigen die Tabelle ausklappen:

Relation	Reflexiv?	Symmetrisch?	Transitiv?
Parallelität von Geraden in der Ebene	reflexiv <popup name="Begründung">Jede Gerade ist zu sich selbst parallel</popup>	symmetrisch <popup name="Begründung">$\mathrm{\forall }\text{ Geraden }a,b:a\text{ ist parallel zu }b\Rightarrow b\text{ ist parallel zu }a$</popup>	transitiv <popup name="Begründung">$\mathrm{\forall }\text{ Geraden }a,b,c:a\text{ ist parallel zu }b\wedge b\text{ ist parallel zu }c\Rightarrow a\text{ ist parallel zu }c$</popup>
Kongruenz geometrischer Figuren	reflexiv <popup name="Begründung">Jede geometrische Figur ist zu sich selbst kongruent.</popup>	symmetrisch <popup name="Begründung">$\mathrm{\forall }\text{ Geometrische Figuren }a,b:a\text{ ist kongruent zu }b\Rightarrow b\text{ ist kongruent zu }a$</popup>	transitiv <popup name="Begründung">$\mathrm{\forall }\text{ Geometrische Figuren }a,b,c:a\text{ ist kongruent zu }b\wedge b\text{ ist kongruent zu }c\Rightarrow a\text{ ist kongruent zu }c$</popup>
Teilbarkeit in $\mathbb{\mathbb{N}}$	reflexiv <popup name="Begründung">$\mathrm{\forall }x\in \mathbb{\mathbb{N}}:\frac{x}{x}=1\Rightarrow xmodx=0$</popup>	asymmetrisch <popup name="Begründung">Gegenbeispiel: $\frac{4}{2}\in \mathbb{\mathbb{N}}\nRightarrow \frac{2}{4}\in \mathbb{\mathbb{N}}$</popup>	transitiv <popup name="Begründung">$\begin{array}{rl}\mathrm{\forall }a,b,c\in \mathbb{\mathbb{N}}:& \frac{a}{b}\in \mathbb{\mathbb{N}}\wedge \frac{b}{c}\in \mathbb{\mathbb{N}}\\ ⟺& (\mathrm{\exists }x\in \mathbb{\mathbb{N}}:a=bx)\wedge (\mathrm{\exists }y\in \mathbb{\mathbb{N}}:b=cy)\\ ⟹& \mathrm{\exists }x,y\in \mathbb{\mathbb{N}}:a=cxy\\ ⟺& \mathrm{\exists }x,y\in \mathbb{\mathbb{N}}:\frac{a}{c}=xy\\ ⟹& \frac{a}{c}\in \mathbb{\mathbb{N}}\end{array}$</popup>
Kleinerrelation in $\mathbb{ℝ}$	irreflexiv <popup name="Begründung">$\mathrm{\forall }a\in \mathbb{ℝ}:a\nless a⟺\mathrm{\neg }(a<a)$</popup>	asymmetrisch <popup name="Begründung">$\mathrm{\forall }a,b\in \mathbb{ℝ}:a<b\Rightarrow b>a⟺b\nless a⟺\mathrm{\neg }(b<a)$</popup>	transitiv <popup name="Begründung">$\mathrm{\forall }a,b,c\in \mathbb{ℝ}:a<b\wedge b<c\Rightarrow a<c$</popup>
Größer-Gleich-Relation in $\mathbb{ℝ}$	reflexiv <popup name="Begründung">$\mathrm{\forall }a\in \mathbb{ℝ}:a\le a$</popup>	antisymmetrisch <popup name="Begründung"> nicht symmetrisch: Gegenbeispiel $1\le 2\nRightarrow 2\le 1$ nicht asymmetrisch, da reflexiv antisymmetrisch: $\mathrm{\forall }a,b\in \mathbb{\mathbb{N}}:a\le b\wedge b\le a\Rightarrow a=b$ </popup>	transitiv <popup name="Begründung">$\mathrm{\forall }a,b,c\in \mathbb{ℝ}:a\le b\wedge b\le c\Rightarrow a\le c$</popup>
Ungleichheit in $\mathbb{ℝ}$	irreflexiv <popup name="Begründung">$\mathrm{\forall }a\in \mathbb{ℝ}:a=a⟺\mathrm{\neg }(a\ne a)$</popup>	symmetrisch <popup name="Begründung">$\mathrm{\forall }a,b\in \mathbb{ℝ}:a\ne b\Rightarrow b\ne a$</popup>	intransitiv <popup name="Begründung">Gegenbeispiel: $1\ne 2\wedge 2\ne 1\nRightarrow 1\ne 1$</popup>

--AlanTu (Diskussion) 18:56, 15. Nov. 2016 (CET)

---