Lösung von Aufgabe 5.4 P (WS 16 17)
Aus Geometrie-Wiki
Entscheiden Sie für die folgenden Relationen, ob es sich um reflexive, symmetrische sowie transitive Relationen handelt?
- Parallelität von Geraden der Ebene
- Kongruenz geometrischer Figuren
- Teilbarkeit in $ \mathbb {N} $
- Kleinerrelation in $ \mathbb {R} $
- Größer-Gleich-Relation in $ \mathbb {R} $
- Ungleichheit in $ \mathbb {R} $
Zum Anzeigen die Tabelle ausklappen:
| Relation | Reflexiv? | Symmetrisch? | Transitiv? |
|---|---|---|---|
| Parallelität von Geraden in der Ebene | reflexiv <popup name="Begründung">Jede Gerade ist zu sich selbst parallel</popup> |
symmetrisch <popup name="Begründung">$ \forall {\text{ Geraden }}a,b:a{\text{ ist parallel zu }}b\Rightarrow b{\text{ ist parallel zu }}a $</popup> |
transitiv <popup name="Begründung">$ \forall {\text{ Geraden }}a,b,c:a{\text{ ist parallel zu }}b\wedge b{\text{ ist parallel zu }}c\Rightarrow a{\text{ ist parallel zu }}c $</popup> |
| Kongruenz geometrischer Figuren | reflexiv <popup name="Begründung">Jede geometrische Figur ist zu sich selbst kongruent.</popup> |
symmetrisch <popup name="Begründung">$ \forall {\text{ Geometrische Figuren }}a,b:a{\text{ ist kongruent zu }}b\Rightarrow b{\text{ ist kongruent zu }}a $</popup> |
transitiv <popup name="Begründung">$ \forall {\text{ Geometrische Figuren }}a,b,c:a{\text{ ist kongruent zu }}b\wedge b{\text{ ist kongruent zu }}c\Rightarrow a{\text{ ist kongruent zu }}c $</popup> |
| Teilbarkeit in $ \mathbb {N} $ | reflexiv <popup name="Begründung">$ \forall x\in \mathbb {N} :{\frac {x}{x}}=1\Rightarrow x{\bmod {x}}=0 $</popup> |
asymmetrisch <popup name="Begründung">Gegenbeispiel: $ {\frac {4}{2}}\in \mathbb {N} \nRightarrow {\frac {2}{4}}\in \mathbb {N} $</popup> |
transitiv <popup name="Begründung">$ {\begin{aligned}\forall a,b,c\in \mathbb {N} :&{\frac {a}{b}}\in \mathbb {N} \wedge {\frac {b}{c}}\in \mathbb {N} \\\iff &(\exists x\in \mathbb {N} :a=bx)\wedge (\exists y\in \mathbb {N} :b=cy)\\\implies &\exists x,y\in \mathbb {N} :a=cxy\\\iff &\exists x,y\in \mathbb {N} :{\frac {a}{c}}=xy\\\implies &{\frac {a}{c}}\in \mathbb {N} \end{aligned}} $</popup> |
| Kleinerrelation in $ \mathbb {R} $ | irreflexiv <popup name="Begründung">$ \forall a\in \mathbb {R} :a\nless a\iff \neg (a<a) $</popup> |
asymmetrisch <popup name="Begründung">$ \forall a,b\in \mathbb {R} :a<b\Rightarrow b>a\iff b\nless a\iff \neg (b<a) $</popup> |
transitiv <popup name="Begründung">$ \forall a,b,c\in \mathbb {R} :a<b\wedge b<c\Rightarrow a<c $</popup> |
| Größer-Gleich-Relation in $ \mathbb {R} $ | reflexiv <popup name="Begründung">$ \forall a\in \mathbb {R} :a\leq a $</popup> |
antisymmetrisch <popup name="Begründung"> nicht symmetrisch: Gegenbeispiel $ 1\leq 2\nRightarrow 2\leq 1 $ nicht asymmetrisch, da reflexiv antisymmetrisch: $ \forall a,b\in \mathbb {N} :a\leq b\wedge b\leq a\Rightarrow a=b $ </popup> |
transitiv <popup name="Begründung">$ \forall a,b,c\in \mathbb {R} :a\leq b\wedge b\leq c\Rightarrow a\leq c $</popup> |
| Ungleichheit in $ \mathbb {R} $ | irreflexiv <popup name="Begründung">$ \forall a\in \mathbb {R} :a=a\iff \neg (a\neq a) $</popup> |
symmetrisch <popup name="Begründung">$ \forall a,b\in \mathbb {R} :a\neq b\Rightarrow b\neq a $</popup> |
intransitiv <popup name="Begründung">Gegenbeispiel: $ 1\neq 2\wedge 2\neq 1\nRightarrow 1\neq 1 $</popup> |
--AlanTu (Diskussion) 18:56, 15. Nov. 2016 (CET)
Hallo AlanTu,
eine echt schöne und auch vollkommen richtige Tabelle hast du da erstellt, sogar mit (Gegen-)Beispielen als Begründung ;)
Weiter so! Gruß Alex --Tutor: Alex (Diskussion) 03:19, 16. Nov. 2016 (CET)
