Lösung von Aufgabe 12.9: Unterschied zwischen den Versionen

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== Lösung 1 ==
== Lösung 1 ==


VSS: Dreieck <math>\overline{ABC}</math>, <math> \alpha </math>, <math> \beta</math>, <math> \gamma</math> sind Innenwinkel des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math>, <math> \gamma^{'}</math> ist Außenwinkel.<br />
VSS: Dreieck <math>\overline{ABC}</math>, <math>\ \alpha, \beta, \gamma</math> sind Innenwinkel des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math>, <math>\ \gamma^{'}</math> ist Außenwinkel.<br />
Es gelte der Satz zur Innenwinkelsumme im Dreieck!<br />
Es gelte der Satz zur Innenwinkelsumme im Dreieck!<br />
Beh: aBdA: <math> \alpha </math> + <math> \beta</math> = <math> \gamma^{'}</math>
Beh: aBdA: <math>\ |\alpha| + |\beta| = |\gamma^{'}|</math>


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| <math>|\gamma^{'}| </math> + <math> |\gamma| </math> = 180
| <math>\ |\gamma^{'}| + |\gamma| </math> = 180
| (Def. Nebenwinkel), (Supplementaxiom)
| (Def. Nebenwinkel), (Supplementaxiom)
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| <math>| \alpha| </math> + <math> |\beta|</math> + <math> |\gamma|</math> = 180
| <math>\ |\alpha| + |\beta| + |\gamma|</math> = 180
| (Satz Innenwinkelsumme im Dreieck)
| (Satz Innenwinkelsumme im Dreieck)
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| <math>|\gamma^{'}| </math> + <math> |\gamma|</math> = <math>| \alpha| </math> + <math> |\beta|</math> + <math> |\gamma|</math>
| <math>\ |\gamma^{'}| + |\gamma| = | \alpha| + |\beta| + |\gamma|</math>
| (I), (II), (rechnen mit reellen Zahlen)
| (I), (II), (rechnen mit reellen Zahlen)
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| <math>|\gamma^{'}| </math>  = <math>| \alpha| </math> + <math> |\beta|</math>  
| <math>\ |\gamma^{'}| = |\alpha| + |\beta|</math>  
| (III), (rechnen mit reellen Zahlen)
| (III), (rechnen mit reellen Zahlen)
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--> Beh ist wahr. analoge Beweisführung für <math>|\alpha^{'}| </math> und <math>|\beta^{'}| </math> bzgl den entsprechenden nichtanliegenden Innenwinkeln. <br />--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 09:58, 14. Jul. 2010 (UTC)
--> Beh ist wahr. analoge Beweisführung für <math>|\alpha^{'}| </math> und <math>|\beta^{'}| </math> bzgl den entsprechenden nichtanliegenden Innenwinkeln. <br />--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 09:58, 14. Jul. 2010 (UTC)

Version vom 14. Juli 2010, 23:34 Uhr

Es gelte der Innenwinkelsatz für Dreiecke. Beweisen Sie den starken Außenwinkelsatz.

Starke Außenwinkelsatz: In jedem Dreieck ist das Maß eines jeden Außenwinkels so groß wie die Summe der Größen der beiden nichtanliegenden Innenwinkel.

Lösung 1

VSS: Dreieck ABC‾,  α,β,γ sind Innenwinkel des Dreiecks ABC‾,  γ' ist Außenwinkel.
Es gelte der Satz zur Innenwinkelsumme im Dreieck!
Beh: aBdA:  |α|+|β|=|γ'|

Beweis
Nr. Beweisschritt Begründung
(I)  |γ'|+|γ| = 180 (Def. Nebenwinkel), (Supplementaxiom)
(II)  |α|+|β|+|γ| = 180 (Satz Innenwinkelsumme im Dreieck)
(III)  |γ'|+|γ|=|α|+|β|+|γ| (I), (II), (rechnen mit reellen Zahlen)
(IV)  |γ'|=|α|+|β| (III), (rechnen mit reellen Zahlen)

--> Beh ist wahr. analoge Beweisführung für |α'| und |β'| bzgl den entsprechenden nichtanliegenden Innenwinkeln.
--Löwenzahn 09:58, 14. Jul. 2010 (UTC)

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