Lösung von Aufgabe 12.9
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Es gelte der Innenwinkelsatz für Dreiecke. Beweisen Sie den starken Außenwinkelsatz.
Starke Außenwinkelsatz: In jedem Dreieck ist das Maß eines jeden Außenwinkels so groß wie die Summe der Größen der beiden nichtanliegenden Innenwinkel.
Lösung 1
VSS: Dreieck $ {\overline {ABC}} $, $ \ \alpha ,\beta ,\gamma $ sind Innenwinkel des Dreiecks $ {\overline {ABC}} $, $ \ \gamma ^{'} $ ist Außenwinkel.
Es gelte der Satz zur Innenwinkelsumme im Dreieck!
Beh: aBdA: $ \ |\alpha |+|\beta |=|\gamma ^{'}| $
| Nr. | Beweisschritt | Begründung |
|---|---|---|
| (I) | $ \ |\gamma ^{'}|+|\gamma | $ = 180 | (Def. Nebenwinkel), (Supplementaxiom) |
| (II) | $ \ |\alpha |+|\beta |+|\gamma | $ = 180 | (Satz Innenwinkelsumme im Dreieck) |
| (III) | $ \ |\gamma ^{'}|+|\gamma |=|\alpha |+|\beta |+|\gamma | $ | (I), (II), (rechnen mit reellen Zahlen) |
| (IV) | $ \ |\gamma ^{'}|=|\alpha |+|\beta | $ | (III), (rechnen mit reellen Zahlen) |
--> Beh ist wahr. analoge Beweisführung für $ \ |\alpha ^{'}| $ und $ \ |\beta ^{'}| $ bzgl den entsprechenden nichtanliegenden Innenwinkeln.
--Löwenzahn 09:58, 14. Jul. 2010 (UTC)
