Lösung von Aufg. 11.4

Beweisen Sie Satz VII.6 b

Wenn ein Punkt $P$ zur Mittelsenkrechten der Strecke $\overline{AB}$ gehört, dann hat er zu den Punkten $A$ und $B$ ein und denselben Abstand.

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Voraussetzung:Es sei eine Strecke $\overline{AB}$ und ein Punkt $P\in m$ , m ist Mittelsenkrechte von $\overline{AB}$

Behauptung: $\overline{PA}\cong \overline{PB}$

Beweis

Nr.	Beweisschritt	Begründung
(I)	$m\cap \overline{AB}=\{M\}$, $\overline{AM}\cong \overline{BM}$	Def.VI.1 (Mittelsenkrechte)
(II)	$\overline{PM}\subset m$	I, Vor.($P\in m$)
(III)	$\mathrm{\angle }PMA\cong \mathrm{\angle }PMB$	II, Def.VI.1 (Mittelsenkrechte)
(IV)	$\overline{PM}\cong \overline{PM}$	Reflexivität der Kongruenz
(V)	$\mathrm{△}AMP\cong \mathrm{△}MBP$	I, III, IV, Axiom V (SWS)
(VI)	$\overline{PA}\cong \overline{PB}$	V, Def. VII.3 (Dreieckskongruenz)

qed.

--Studentxyz 23:02, 17. Jan. 2011 (UTC)

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