Lösung von Aufg. 11.4

Beweisen Sie Satz VII.6 b

Wenn ein Punkt $\ P$ zur Mittelsenkrechten der Strecke $\overline{AB}$ gehört, dann hat er zu den Punkten $\ A$ und $\ B$ ein und denselben Abstand.

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Voraussetzung:Es sei eine Strecke $\overline{AB}$ und ein Punkt $P \in m$ , m ist Mittelsenkrechte von $\overline{AB}$

Behauptung: $\overline{PA} \cong \overline{PB}$

Beweis

Nr.	Beweisschritt	Begründung
(I)	$m \cap \overline{AB} = \lbrace M \rbrace$, $\overline{AM} \cong \overline{BM}$	Def.VI.1 (Mittelsenkrechte)
(II)	$\overline{PM} \subset m$	I, Vor.($P \in m$)
(III)	$\angle PMA \cong \angle PMB$	II, Def.VI.1 (Mittelsenkrechte)
(IV)	$\overline{PM} \cong \overline{PM}$	Reflexivität der Kongruenz
(V)	$\triangle AMP \cong \triangle MBP$	I, III, IV, Axiom V (SWS)
(VI)	$\overline{PA} \cong \overline{PB}$	V, Def. VII.3 (Dreieckskongruenz)

qed.

--Studentxyz 23:02, 17. Jan. 2011 (UTC)

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ein richtiger und auch optisch sehr schöner Beweis, super!--Schnirch 14:03, 25. Jan. 2011 (UTC)