Lösung von Aufg. 7.1

Es sei $g$ eine Gerade und $P$ ein Punkt, der nicht zu $g$ gehört. Beweisen Sie mittels der Axiome der Inzidenz: Es gibt genau eine Ebene $\mathrm{E}$, die sowohl alle Punkte von $g$ als auch den Punkt $P$ enthält.

Vor: g, P ist nicht Element g
Beh: Es existiert genau eine Ebene E, g$\subset E$, $P\in E$

1) $A,B\in g$_____Axiom I/1
2) nkoll(A,P,B)_______________laut Vor und 1)
3) zu drei nkoll(A,P,B)________Axiom I/4 und 2)
gibt es genau eine Ebene E
4)$g\supset E$_________Axiom I/5
5) Behauptung stimmt

Die Eindeutigkeit das genau eine Ebene E existiert, lässt sich auf das Axiom I/4 zurückführen --Engel82 17:11, 23. Nov. 2010 (UTC)

Die Lösung von Engel82 ist korrekt, prima!--Schnirch 13:40, 9. Dez. 2010 (UTC)

In Punkt 4) müsste es $g\subset E$ heißen. --Studentxyz 12:38, 16. Jan. 2011 (UTC)

Lösungsvorschlag 2

vielen Dank für dieses gescannte Bild. Schritt 2 können Sie weglassen und den ersten Teil in Schritt 4 auch,
ansonsten ist alles korrekt!--Schnirch 13:40, 9. Dez. 2010 (UTC)

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Lösungsvorschlag 3:

Voraussetzung:Es sei eine Gerade g und ein Punkt P, $P\notin g$
$\epsilon$ sei die Menge aller Ebenen.

Behauptung: $\mathrm{\exists }!E\in \epsilon :=g\subset E\wedge P\in E$

Beweis

Nr.	Beweisschritt	Begründung
(I)	$\mathrm{\exists }A,B\in g,A=B$	Axiom I.2
(II)	nkoll(A,B,P)	I, Vor. ($P\notin g$), Def I.2 (kollinear)
(III)	$\mathrm{\exists }!E\in \epsilon :=A,B,P\in E$	II, Axiom I.4
(IV)	$g\subset E$	I, III, Axiom I.5
(V)	$\mathrm{\exists }!E\in \epsilon :=g\subset E\wedge P\in E$	III, IV

qed.

Stimmt das mit dem := in III und V oder müsste man nur : schreiben, wie im vorigen Lösungsvorschlag?

--Studentxyz 13:25, 16. Jan. 2011 (UTC)