Lösung von Aufg. 7.1
Es sei $ \ g $ eine Gerade und $ \ P $ ein Punkt, der nicht zu $ \ g $ gehört. Beweisen Sie mittels der Axiome der Inzidenz: Es gibt genau eine Ebene $ \ \mathrm {E} $, die sowohl alle Punkte von $ \ g $ als auch den Punkt $ \ P $ enthält.
Vor: g, P ist nicht Element g
Beh: Es existiert genau eine Ebene E, g$ \subset E $, $ P\in E $
1) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): A,B \in g
_____Axiom I/1
2) nkoll(A,P,B)_______________laut Vor und 1)
3) zu drei nkoll(A,P,B)________Axiom I/4 und 2)
gibt es genau eine Ebene E
4)$ g\supset E $_________Axiom I/5
5) Behauptung stimmt
Die Eindeutigkeit das genau eine Ebene E existiert, lässt sich auf das Axiom I/4 zurückführen
--Engel82 17:11, 23. Nov. 2010 (UTC)
Die Lösung von Engel82 ist korrekt, prima!--Schnirch 13:40, 9. Dez. 2010 (UTC)
In Punkt 4) müsste es $ g\subset E $ heißen. --Studentxyz 12:38, 16. Jan. 2011 (UTC)
Lösungsvorschlag 2
Fehler beim Erstellen des Vorschaubildes: Datei fehlt
vielen Dank für dieses gescannte Bild. Schritt 2 können Sie weglassen und den ersten Teil in Schritt 4 auch,
ansonsten ist alles korrekt!--Schnirch 13:40, 9. Dez. 2010 (UTC)
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Lösungsvorschlag 3:
Voraussetzung:Es sei eine Gerade g und ein Punkt P, $ P\notin g $
$ \varepsilon $ sei die Menge aller Ebenen.
Behauptung: $ \exists !E\in \varepsilon :=g\subset E\land P\in E $
| Nr. | Beweisschritt | Begründung |
|---|---|---|
| (I) | $ \exists A,B\in g,A\not =B $ | Axiom I.2 |
| (II) | nkoll(A,B,P) | I, Vor. ($ P\notin g $), Def I.2 (kollinear) |
| (III) | $ \exists !E\in \varepsilon :=A,B,P\in E $ | II, Axiom I.4 |
| (IV) | $ g\subset E $ | I, III, Axiom I.5 |
| (V) | $ \exists !E\in \varepsilon :=g\subset E\land P\in E $ | III, IV |
qed.
Stimmt das mit dem := in III und V oder müsste man nur : schreiben, wie im vorigen Lösungsvorschlag?
--Studentxyz 13:25, 16. Jan. 2011 (UTC)
nur :
