Lösung von Aufg. 9.5 (SoSe 11): Unterschied zwischen den Versionen

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Beweisen Sie: Der Durchschnitt zweier konvexer Punktmengen ist konvex.
Beweisen Sie: Der Durchschnitt zweier konvexer Punktmengen ist konvex.
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konvex bedeutet zunächst ja folgendes: <math>\forall A, B \in einer Punktemenge: {P| \operatorname(Zw) (A, P, B)} \in  dieser Punktemenge sind \Rightarrow  ist die Punktemenge konvex</math>
<br /><br />
Voraussetzung: Zwei konvexe Punktmengen schneiden sich; <math>A \in dieser Schnittmenge </math> und <math>B \in dieser Schnittmenge </math>
<br />
Behauptung: <math>\lbrace P| Zw(A, P, B\rbrace  \in  der Schnittmenge</math>
<br />
Beweis durch Wiederspruch: <br />
Annahme: <math>\exists P \not\in  der Schnittmenge</math>
<br />
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{| class="wikitable"
|-
| 1 || koll(A, B, P) || Def. Strecke, Def. kollinear, Def. konvex
|-
| 2 || <math>P \not\in der Schnittmenge</math> || Annahme
|-
| 3 || <math>A \in der Schnittmenge</math> || Voraussetzung
|-
| 4 || <math>B \not\in der Schnittmenge</math> || Def. konvex (P liegt zwischen A und B), Def. Strecke, Def. Zwischenrelation, (3), (2), (1)
|-
| 5 || Wiederspruch zur Voraussetzung, Annahme ist zu verwerfen || (4)
|}
--[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 15:43, 8. Jun. 2011 (CEST)




[[Kategorie:Einführung_Geometrie]]
[[Kategorie:Einführung_Geometrie]]

Version vom 8. Juni 2011, 13:43 Uhr

Beweisen Sie: Der Durchschnitt zweier konvexer Punktmengen ist konvex.
konvex bedeutet zunächst ja folgendes: ∀A,B∈einerPunktemenge:P|(⁡Zw)(A,P,B)∈dieserPunktemengesind⇒istdiePunktemengekonvex

Voraussetzung: Zwei konvexe Punktmengen schneiden sich; A∈dieserSchnittmenge und B∈dieserSchnittmenge
Behauptung: {P|Zw(A,P,B}∈derSchnittmenge
Beweis durch Wiederspruch:
Annahme: ∃P∉derSchnittmenge

1 koll(A, B, P) Def. Strecke, Def. kollinear, Def. konvex
2 P∉derSchnittmenge Annahme
3 A∈derSchnittmenge Voraussetzung
4 B∉derSchnittmenge Def. konvex (P liegt zwischen A und B), Def. Strecke, Def. Zwischenrelation, (3), (2), (1)
5 Wiederspruch zur Voraussetzung, Annahme ist zu verwerfen (4)

--Flo60 15:43, 8. Jun. 2011 (CEST)

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