Lösung von Aufgabe 5.5 (WS 11/12)

Es seien eine Ebene E (aufgefasst als Punktmenge) und eine Gerade g in E gegeben. Wir betrachten folgende Relation $\mathrm{\Theta }$ ($\mathrm{\Theta }$ ist ein willkürlich gewähltes Symbol, um die Relation nicht mit dem unauffälligen Buchstaben R bezeichnen zu müssen) in der Menge $E\setminus g$ (also alle Punkte der Ebene E, die nicht der Geraden g angehören): Für beliebige $A,B\in E\setminus g$ gilt: $A\mathrm{\Theta }B:\iff \overline{AB}\cap g=\{\}$.
a) Beschreiben Sie die Relation $\mathrm{\Theta }$ verbal und veranschaulichen Sie diese Relation.
b) Begründen Sie anschaulich, dass $\mathrm{\Theta }$ eine Äquivalenzrelation ist. Formulieren Sie dazu die Eigenschaften von Äquivalenzrelationen konkret auf die Relation $\mathrm{\Theta }$ bezogen.
Hinweis: Sie können die Transitivität noch nicht exakt beweisen; in dieser Aufgabe geht es zunächst darum, die Relationseigenschaften als geometrische Eigenschaften zu interpretieren und zu verstehen.

a)parallel --Todah raba 09:25, 15. Nov. 2011 (CET)

b) Die Relation hat folgende Eigenschaften:
* ist reflexiv: $\overline{AB}||\overline{AB}$ 

*ist symmetrisch: $\overline{AB}||g\Rightarrow g||\overline{AB}$

* ist transitiv: $\overline{AB}||g\wedge g||h\Rightarrow \overline{AB}||h$

Also ist es eine Äquivalenzrelation. --Todah raba 17:02, 13. Nov. 2011 (CET)

* Es wäre gut, wenn der Autor diesen Kommentar verbessern würde. --Tutor Andreas 11:18, 17. Nov. 2011 (CET)

zu a) Punkt A steht genau dann in Relation zu Punkt B, wenn die Strecke Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \overline{AB} keinen Schnittpunkt mit g hat. --Wookie 12:18, 14. Nov. 2011 (CET)
zu b) begründest du mit der Parallelität? Warum? Steht doch nichts, davon in der Relation?--Anna S 22:13, 14. Nov. 2011 (CET)
@ Anna S: Du hast recht, das war wohl ein Denkfehler. Die Relation beschreibt nicht Parallelität, sondern, "Element der selben Gerade wie". --Todah raba 09:25, 15. Nov. 2011 (CET)
@ Todah raba: Was meinst du mit "Element der selben Gerade wie" ? Gibt es durch zwei Punkte nicht immer ein Gerade?
Weitere Vorschläge zur Interpretation der Relation ...--Tutorin Anne 19:33, 16. Nov. 2011 (CET)

Ein Punkt steht genau dann in Relation mit einem anderen Punkt, wenn er mit dem anderen Punkt auf der gleichen Halbebene liegt, wenn die Gerade g die Ebene in zwei Halbebenen teilt.
Ist reflexiv, da jeder Punkt auf der gleichen Halbebene liegt wie er selbst.
Ist symetrisch, da wenn A auf der einen Halbebene liegt und B auf der gleichen Halbebene liegt, dann liegt auch B auf der gleichen Halbebene wie A.
Ist transistiv, da wenn A und B auf der selben Halbebene liegen wie B und C, so liegen auch die Punke A und C auf der gleichen Halbebene--RicRic 22:43, 16. Nov. 2011 (CET)