Wurzel aus 2 ist irrational

Satz: Die Wurzel aus 2 ist irrational

Annahme: $\sqrt{2}$ ist rational.
d.h. $\sqrt{2}=\frac{p}{q},p,q\in \mathbb{\mathbb{N}}$.

Beweis durch Widerspruch.
Annahme: $\sqrt{2}$ = rational

D.h. $\mathrm{\exists }$ p,q $\in$ $\mathbb{\mathbb{N}}$ : $\frac{p}{q}$ = $\sqrt{2}$ , mit p,q sind teilerfremd.

$\Rightarrow$ $\frac{p^2}{q^2}$ = 2
$\Rightarrow$ $p^2$ = $2q^2$
$p^2$ ist gerade. $\Rightarrow$ p=2n, mit n $\in$ $\mathbb{\mathbb{N}}$
$\Rightarrow$ $(2n{)}^2$ = $2q^2$
$\Rightarrow$ $4n^2$ = $2q^2$
$\Rightarrow$ $2n^2$ = $q^2$
$\Rightarrow$ q ist ebenfalls gerade $\Rightarrow$ p und q sind nicht teilerfremd.
$\Rightarrow$ $\frac{p^2}{q^2}$ ist kürzbar.
$\Rightarrow$ $\sqrt{2}$ = irrational