Pfeilklassen
Pfeilklassen
Definition
Pfeil $ {\vec {AB}} $
Es seien $ A $ und $ B $ zwei (nicht notwendigerweise) verschiedene Punkte. Der Pfeil $ {\vec {AB}} $ ist das geordnete Paar $ (A,B) $. $ A $ heißt Anfangspunkt des Pfeils $ {\vec {AB}} $, $ B $ heißt Endpunkt des Pfeils $ {\vec {AB}} $. Jedem Pfeil ist eine Punktmenge zugehörig, Es handelt sich dabei um die Menge der Punkte der Strecke $ {\overline {AB}} $. Sollte der Anfangspunkt eines Pfeils mit dem Endpunkt dieses Pfeils zusammenfallen spricht man vom Nullpfeil $ {\vec {o}} $. Zwei Pfeile $ {\vec {AB}} $ und $ {\vec {CD}} $ haben einen Punkt gemeinsam falls ihre Punktmengen einen Punkt gemeinsam haben.
Definition
P.1 (parallelgleich)
Zwei Pfeile $ {\vec {AB}} $ und $ {\vec {CD}} $ heißen parallelgleich, wenn
- $ |AB|=|CD| $
- $ AB\||CD $
- $ {\vec {AB}} $ und $ {\vec {CD}} $ sind gleichorientiert.
Satz
Die Relation parallelgleich ist eine Äquivalenzrelation auf der Menge der Pfeile des Raumes bzw. der Ebene.
D.h. $ {\vec {a}} $ ist parallelgleich($ \sim $) zu $ {\vec {b}} $, wenb gilt:
a) Reflexivität: $ {\vec {a}}\sim {\vec {a}} $
b) Symmetrie: $ {\vec {a}}\sim {\vec {b}}\Rightarrow {\vec {b}}\sim {\vec {a}} $
c) Transitivität: $ {\vec {a}}\sim {\vec {b}}\wedge {\vec {b}}\sim {\vec {c}}\Rightarrow {\vec {a}}\sim {\vec {c}} $
{{Definition| Pfeilklasse:
Eine Pfeilklasse ist eine Äquivalenzklasse bzgl der Äquivalenzrelation parallelgleich, d.h, mit der Pfeilklasse $ {\vec {u}} $ bezeichnet man die Menge aller zu dem Pfeil $ {\vec {u}} $ parallelgleicen Pfeile der Ebene bzw. des Raumes:
$ {\vec {u}}=\left\{{\vec {x}}|{\vec {x}}\sim {\vec {u}}\right\} $
Rechenregeln der Addition von Pfeilklassen
Für beliebige Pfeilklassen $ {\vec {u}},{\vec {v}},{\vec {w}} $ gilt:
i) $ {\vec {u}},{\vec {v}} $ gilt $ {\vec {u}}+{\vec {v}}={\vec {v}}+{\vec {u}} $ (Kommuntativität der Addition)
ii) $ {\vec {u}},{\vec {v}},{\vec {w}}\in V $ gilt $ ({\vec {u}}+{\vec {v}})+{\vec {w}}={\vec {u}}+({\vec {v}}+{\vec {w}}) $ (Assoziativität der Addition)
iii) Es existiert eine Pfeilklasse $ {\vec {0}} $, sodass gilt $ {\vec {u}}+{\vec {0}}={\vec {u}} $ (neutrales Element bzgl. der Addition, Nullpfeilklasse)
iv) Zu jedem $ {\vec {u}} $ existiert ein $ -{\vec {u}} $ mit $ {\vec {u}}+(-{\vec {u}})={\vec {o}} $ (inverses Element)
