Lineare Abbildungen, Vektorraumisomorphismus 2012 13

Definition Definition (lineare Abbildung) Es seien $(V_1,\oplus ,\mathbb{ℝ},\cdot )$ und $(V_2,\otimes ,\mathbb{ℝ},\odot )$ zwei Vektorräume über der Körper der reellen Zahlen. Eine Abbildung $\phi :V_1\to V_2$ heißt lineare Abbildung wenn gilt: $\mathrm{\forall }\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\in V_1\wedge \mathrm{\forall }a\in \mathbb{ℝ}:$ (H) $\phi$ ist homogen: $\phi (a\cdot \overrightarrow{u})=a\odot \phi \left(\overrightarrow{u}\right)$ (A) $\phi$ ist additiv: $\phi (\overrightarrow{u}\oplus \overrightarrow{v})=\phi \left(\overrightarrow{u}\right)\otimes \phi \left(\overrightarrow{v}\right)$ Beispiele senkrechte Parallelprojektion auf die x-y-Ebene $\phi :{\mathbb{ℝ}}^3\to {\mathbb{ℝ}}^2$ $\mathrm{\forall }\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right):\phi \left(\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)\right)=\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$ Man beweise: $\phi$ ist lineare Abbildung Drehung Drehung der kanonischen Basisvektoren $\overrightarrow{i}=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{c}cos\alpha \\ sin\alpha \end{array}\right)$ $\overrightarrow{j}=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{c}-sin\alpha \\ cos\alpha \end{array}\right)$ Drehungsmatrix: $\left(\begin{array}{cc}cos\alpha & -sin\alpha \\ sin\alpha & cos\alpha \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$ Geradenspiegelung Zentrische Streckung Isomorphe Vektorräume Definition Zwei Vektorräume sind isomorph zu einander, wenn sie durch eine bijektive lineare Abbildung aufeinander abgebildet werden können.