Serie 4 SoSe 2013

Aufgabe 4.01 Der Innenwinkelsatz für Dreiecke sei bereits bewiesen. Formulieren Sie einen analogen Satz für Vierecke und beweisen Sie diesen Satz. Lösung von Aufgabe 4.01_S SoSe_13 Aufgabe 4.02 Es sei n eine beliebige natürliche Zahl, die größer als 2 ist. Entwickeln Sie eine Abbildungsvorschrift, die jedem solchen n die Innenwinkelsumme des entsprechenden n-Ecks zuordnet. Lösung von Aufgabe 4.02_S SoSe_13 Aufgabe 4.03 a) Wie lautet der Stufenwinkelsatz? (schauen Sie bei Bedarf in Schulbüchern nach). b) Es seien a und b zwei nichtidentische Geraden, die durch eine dritte Gerade c jeweils in genau einem Punkt S geschnitten werden. Bei diesem Schnitt entstehen die Stufenwinkel $\alpha$ und $\beta$. Welche der folgenden Aussagen repräsentiert den Stufenwinkelsatz bzw. ist eine zu diesem Satz äuivalente Aussage (Begründen Sie jeweils)? $a\Vert |b\Rightarrow \alpha \widetilde{=}\beta$ $\alpha \widetilde{=}\beta \Rightarrow a\Vert |b$ $\Vert \alpha \Vert =\Vert \beta \Vert \Rightarrow \mathrm{\exists }S:S\in a\wedge S\in b$ $a\Vert |b\iff \alpha \widetilde{=}\beta$ Lösung von Aufgabe 4.03_S SoSe 13 Aufgabe 4.04 Es seien $A$ und $B$ zwei Punktmengen. Was müssen Sie konkret zeigen, wenn Sie beweisen wollen, dass $A=B$ ? Lösung von Aufgabe 4.04_S SoSe 13 Aufgabe 4.05 Wir gehen davon aus, dass wir der ebenen Geometrie ein kartesisches Koordinatensystem zugrunde gelegt haben. Bezüglich dieses Systems definieren wir die folgenden beiden Punktmengen: $A:=\{P(x_P,y_P)|y_p=\frac{3}{4}{x}_p-\frac{7}{8}\}$ $B:=\{P(x_P,y_P)|y_p=\frac{36,3}{48,4}{x}_p-0,875\}$ Beweisen Sie $A\cap B=A$. Lösung von Aufgabe 4.05_S SoSe 13 Aufgabe 4.06 Sie dürfen davon ausgehen, dass für jedes Dreieck gilt: Der größeren zweier Seiten liegt der größere Innenwinkel gegenüber. (o.B.d.A.: $a>b\Rightarrow |\alpha |>|\beta |$) Formulieren Sie die Umkehrung dieser Seiten-Winkel-Beziehung und beweisen Sie diese Umkehrung mittels eines Widerspruchsbeweises. (Der Basiswinkelsatz sei auch schon bewiesen.) Lösung von Aufgabe 4.06_S SoSe 13