Übungen 05
Pfeilklassen und $ \mathbb {R} $Vektorräume
Aufgabe 4.1
Ein Vektor $ {\vec {v}} $ wird durch einen Pfeil $ {\vec {AB}} $ repräsentiert. Geben Sie $ {\vec {v}} $ als Zahlentripel an.
a) A(-8,5,12), B(-5,7,-11)
b) A(5,6,7), B(-3,9,-4)
Aufgabe 4.2
Gegeben ist eine Verschiebung $ {\vec {v}} $ des Raumes durch einen Verschiebungspfeil $ {\vec {PP'}} $ mit $ P(2,1,3) $ und $ P'(5,3,-1) $.
a) Geben Sie den Verschiebungsvektor $ {\vec {v}} $ als Zahlentripel an.
b) Geben Sie die Koordinaten der Bildpunkte der Punkte Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): A(3,-2,4) und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): B(3.5,2.5,-5) bei der Verschiebung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{v} an.
Aufgabe 4.3
Durch Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{v_{1}}=\begin{pmatrix} 5 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{v_{2}}=\begin{pmatrix} -4 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} werden zwei Verschiebungen des Raumes beschrieben.
a) Der Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): P(-3,-3,3) wird zunächst um Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{v_{1}} und dann um Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{v_{2}} verschoben. Geben Sie die Koordinaten der entsprechenden Bildpunkt $ P' $ und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): P'' an.
b) Geben Sie den Verschiebungsvektor Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{v} an, der die Nacheinanderausfürhugn der Verschiebungen Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{v_{1}} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{v_{2}} beschreibt.
Aufgabe 4.4
Zeigen Sie, dass die Menge Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): P_{2}=\{p|p(x)=a_{2}x^2+a_{1}x+a_{0}; mit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a_{0},a_{1},a_{2} \in \mathbb{R} \} der Polynome höchstens 2. Grades mit der folgend definierten Verknüpfungen Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): + und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \cdot für beliebige Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): p, q \in P mit$ p(x)=a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0} $ und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): q(x)=b_{2}x^2+b_{1}x+b_{0} sowie Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \lambda \in \mathbb{R} ein Vektorraum ist:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (p+q)(x):= p(x)+ q(x)=(a_{2}+b_{2})x^2+(a_{1}+b_{1})x+(a_{0}+b_{0}) ,
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (\lambda\cdot p)(x):= \lambda \cdot p(x)= \lambda a_{2}x^2+\lambda a_{1}x+\lambda a_{0}
