Lösung von Aufgabe 7.1

Beweisen Sie: Zu jeder Strecke $\overline{AB}$ existiert genau eine Strecke $\overline{A{B}^{*}}$ mit $\left|A{B}^{*}\right|=\pi \left|AB\right|$ und $\overline{AB}\subset \overline{A{B}^{*}}$.

Lösung --Schnirch 10:03, 1. Jul. 2010 (UTC)

Voraussetzung: Strecke $\overline{AB}\subset A{B}^{+}$
Behauptung: es existiert genau eine Strecke $\overline{A{B}^{*}}$ mit $\left|A{B}^{*}\right|=\pi \left|AB\right|$ und $\overline{AB}\subset \overline{A{B}^{*}}$

Beweis

Nr.	Beweisschritt	Begründung
(I)	es ex. genau ein Punkt $B^{*}\in A{B}^{+}$ mit $\left|A{B}^{*}\right|=\pi \left|AB\right|$	Axiom III.1
(I)	$\overline{A{B}^{*}}$ existiert und ist eindeutig	(I), Def. Strecke
(II)	$\left|A{B}^{*}\right|>\left|AB\right|$	Rechnen in $\mathbb{ℝ}$ und $\pi$ > 1
(III)	$\mathrm{Zw}(A,B,B^{*})$	(III), Def. Zw
(VI)	$\overline{AB}\subset \overline{A{B}^{*}}$	(IV)

vorangegangene Diskussion

mal ein Anfang:
Behauptung: es existiert genau eine Strecke $\overline{A{B}^{*}}$ mit $\left|A{B}^{*}\right|=\pi \left|AB\right|$ und $\overline{AB}\subset \overline{A{B}^{*}}$
Es müssen zwei Beweise geführt werden:
1. Existenz
2. Eindeutigkeit

Beweis 1:

Beweis

Nr.	Beweisschritt	Begründung
(I)	es ex. d $\in {\mathbb{ℝ}}^{+}$: d= $\left|AB\right|$	Axiom II.1
(II)	es ex. d*$\in {\mathbb{ℝ}}^{+}$: d*= $\pi \left|AB\right|$ =$\left|A{B}^{*}\right|$	Axiom II.1, Rechnen in $\mathbb{ℝ}$
(III)	d < d*	$\pi$ und d sind positiv
(VI)

Irgendwie verstricke ich mich. Wer mag weitermachen, oder neu anfangen? --Maude001 17:21, 11. Jun. 2010 (UTC)