Lösung von Aufgabe 12.9

Es gelte der Innenwinkelsatz für Dreiecke. Beweisen Sie den starken Außenwinkelsatz.

Starke Außenwinkelsatz: In jedem Dreieck ist das Maß eines jeden Außenwinkels so groß wie die Summe der Größen der beiden nichtanliegenden Innenwinkel.

Lösung 1

VSS: Dreieck $\overline{ABC}$, $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ sind Innenwinkel des Dreiecks $\overline{ABC}$, ${\gamma }^{\text{'}}$ ist Außenwinkel.
Es gelte der Satz zur Innenwinkelsumme im Dreieck!
Beh: aBdA: $\alpha$ + $\beta$ = ${\gamma }^{\text{'}}$

Beweis

Nr.	Beweisschritt	Begründung
(I)	$|{\gamma }^{\text{'}}|$ + $|\gamma |$ = 180	(Def. Nebenwinkel), (Supplementaxiom)
(II)	$|\alpha |$ + $|\beta |$ + $|\gamma |$ = 180	(Satz Innenwinkelsumme im Dreieck)
(III)	$|{\gamma }^{\text{'}}|$ + $|\gamma |$ = $|\alpha |$ + $|\beta |$ + $|\gamma |$	(I), (II), (rechnen mit reellen Zahlen)
(IV)	$|{\gamma }^{\text{'}}|$ = $|\alpha |$ + $|\beta |$	(III), (rechnen mit reellen Zahlen)

--> Beh ist wahr. analoge Beweisführung für $|{\alpha }^{\text{'}}|$ und $|{\beta }^{\text{'}}|$ bzgl den entsprechenden nichtanliegenden Innenwinkeln.
--Löwenzahn 09:58, 14. Jul. 2010 (UTC)