Serie 01
Aufgabe 1.1
- Definieren Sie für die ebene Geometrie den Begriff Bewegung
- (Definition 1.1)
Eine Bewegung ist eine Abbildung der Ebene auf sich, bei der Streckenlängen erhalten bleiben. Pipi Langsocke 12:45, 19. Okt. 2011 (CEST)
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): Es \ sei \ E \ eine \ Ebene, \ \varphi \ eine \ Abbildung \ mit \ \varphi : \ E \ -> \ E.
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \varphi \ heisst \ Bewegung \ genau \ dann, \ wenn \ \varphi \ laengenerhaltend \ ist.
--Peterpummel 12:46, 19. Okt. 2011 (CEST)
Aufgabe 1.2
- Definieren Sie die Begriffe injektiv und surjektiv
injektiv: Es seien eine Ausgangsmenge M und eine Zielmenge N. Injektivität ist dann gegeben, wenn gilt: Jedes Element der Menge M kann einem Element der Zielmenge N eindeutig zugeordnet werden.
surjektiv: Es seien eine Ausgangsmenge M und eine Zielmenge N. Surjektivität ist dann gegeben, wenn gilt: Jedes Element der Zielmenge N besitzt mindestens ein Urbild in der Ausgangsmenge M. Pipi Langsocke 12:48, 19. Okt. 2011 (CEST)
- Definieren Sie die Begriffe injektiv und surjektiv
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): Definition\ injektiv:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): Es\ seien\ M_1,\ M_2\ Mengen,\ \varphi \ eine\ Abbildung\ mit\ \varphi:\ M_1\ ->\ M_2.
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \varphi\ ist\ genau\ dann\ injektiv, \ wenn\ folgendes\ gilt:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \varphi (x)\ = \ \varphi (y) \Rightarrow \ x\ =\ y
In Worten heisst das nichts anderes als, das wenn ein Element abbgebildet wird es nur ein Urbild hat.
Ein Gegebbeispiel wäre z.b die Normalparabel f(x) = x^2 für diese gilt f(2)= 4 = f(-2), also ist diese nicht injektiv
Betrachtet man nun die eingeschränkte Parabel auf D=R^+ (den rechten Ast) so ist diese injektiv.
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): Definition\ surjektiv:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): Es\ seien\ M_1,\ M_2\ Mengen,\ \varphi \ eine\ Abbildung\ mit\ \varphi:\ M_1\ ->\ M_2.
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \varphi\ ist\ genau\ dann\ surjektiv, \ wenn\ folgendes\ gilt:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \forall \ y \in M_2 \ \exist x \in M_1\ mit\ \varphi (x) = y
Das heisst nichts anderes als, dass jedes Element in der Bildmenge "getroffen" wird, also zu jedem Element im Bildbereich ein Urbild existiert.
Wieder die Normalparabel: Würden wir hier M_2 = R wählen, dann würden alle negativen Zahlen nicht getroffen werden, also wäre f nicht surjektiv.
Eine Einschränkung auf die positiven reellen Zahlen würde zur Surjektivität von f führen.
--Peterpummel 13:14, 19. Okt. 2011 (CEST)
Aufgabe 1.3
- Ergänzen Sie die folgende Tabelle
| Abbildung | Umkehrabbildung |
| Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): x^2, x\ge 0 | Wurzel(x) , x \ge 0 (Sorry für die Schreibweise!) -Pipi Langsocke 13:11, 19. Okt. 2011 (CEST) |
| Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \sin (x), 0 \le x \ge 1 | Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \arcsin (x) -Pipi Langsocke 13:11, 19. Okt. 2011 (CEST) |
| Drehung um Z mit Drehwinkel Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \alpha | Drehung um Z mit dem Drehwinkel Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): - \alpha . -Pipi Langsocke 13:11, 19. Okt. 2011 (CEST) |
| Spiegelung an der Geraden Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): s | bleibt gleich -Pipi Langsocke 13:11, 19. Okt. 2011 (CEST) |
Aufgabe 1.4
- Beweisen Sie Satz 1.2
Es seien Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \beta_1 und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \beta_2 zwei Bewegungen.
zu zeigen:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \beta_2 \circ \beta_1 ist eine Bewegung.
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): Es\ seien\ M_1,\ M_2\ Mengen, \beta_1,\ \beta_2 \ Bewegungen,\ d () \ sei\ die\ Abstandsfunktion
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): zz.:\ \beta_3 := \beta_2 \circ \beta_1 \ ist\ eine\ Bewegung,\ also\ d( \beta_3(P),\beta_3(Q)) \ = \ d(P,Q)
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): Beweis:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): d(P, Q)\ = \ d(\beta_1(P),\beta_1(Q) \ , da \ \beta_1 \ eine\ Bewegung\ ist. \(*)
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): d(\beta_1(P),\beta_1(Q) \ = \ d( \beta_2( \beta_1 ( P)), \beta_2( \beta_1(Q))) \ , da \ \beta_2 \ eine\ Bewegung\ ist \ (**).
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): aus\ (*) \ und\ (**) \Rightarrow \ d (P,Q) \ = \ d( \beta_3(P), \beta_3(Q) \ \Rightarrow \beta_3 \ ist \ eine \ Bewegung
