Geradenspiegelungen (2011/12)

Ideen zur Heranführung an die Geradenspiegelung

Idee der Symmetrie

Die Applikation wurde im WS 2010/11 von tutorin Anne generiert.

Verwendung eines halbdurchlässigen Spiegels

Falten

Leider sind meine Bilder von der Qualität her zu schlecht geworden, als dass sie hier veröffentlicht werden könnten. Wer hilft? --*m.g.* 13:04, 27. Okt. 2011 (CEST)

Konstruktion des Bildes eines Punktes $P$ bei einer Spiegelung an der Geraden $g$

Reduktion der großen Idee Geradenspiegelung auf: Konstruktion des Bildes eines Punktes bei einer Geradenspiegelung

Übungsaufgabe:

Es sei $P$ ein Punkt der Ebene der nicht zur Geraden $g$ dieser Ebene gehört. Erstellen Sie eine Konstruktionsbeschreibung für die Konstruktion des Bildes von $P$ bei der Spiegelung an $g$. Begründen Sie jeweils die Korrektheit eines jeden Ihrer Konstruktionsschritte.

Konstruktion des Bildes eines Punktes $P$ bei der Spiegelung aneiner Geraden $g$
$(P\notin g)$

Nr.	Beschreibung des Schrittes	Genauere Beschreibung	Begründung der Korrektheit des Schrittes
1.	...	...	...
2.	...	...	...
3.	...	...	...

Bemerkung zum Nachweis der Korrektheit, desjeweiligen Schrittes: Gemeint ist eine Begründung, aus der hervorgeht, dass der jeweilige Schritt (ggf. eindeutig) ausführbar ist.--*m.g.* 13:10, 27. Okt. 2011 (CEST)

Definition des Begriffs

Definition 2.1: (Spiegelung an der Geraden $g$)

Es sei $g$ eine Gerade. Unter der Spiegelung $S_g$ an der Geraden $g$versteht man eine Abbildung der Ebene auf sich, bei der die Gerade g auf sich abgebildet wird und der Punkt P so abgebildet wird, dass gilt: $\overline{P\rho (P)}\perp g$ und $|Pg|=|g\rho (P)|$.

Zweite Möglichkeit (etwas einfacher und plausibler ausgedrückt):

Es sei $g$ eine Gerade. Unter der Spiegelung $S_g$ an der Geraden $g$versteht man eine Abbildung der Ebene auf sich, bei der die Gerade g auf sich abgebildet wird und Mittelsenkrechte der Strecke $\overline{P\rho (P)}$ ist.

--Flo60 20:29, 31. Okt. 2011 (CET)

Die Geradenspiegelung als spezielle Bewegung

Satz 2.1: (Abstandserhaltung von Geradenspiegelungen)

Jede Geradenspiegelung $S_g$ ist eine abstandserhaltende Abbildung.

Beweis von Satz 2.1:

Es seien $A$, $B$ zwei Punkte, die an einer Geraden $g$ auf ihre Bilder $A^{\prime }$ und $B^{\prime }$ gespiegelt werden.

Wir unterscheiden drei Fälle:

Fall 1

$A,B$ $\in$ $g$

Beweis:
Nach der Definition 'Bild eines Punktes bei einer Geradenspiegelung' und des Satzes, dass die Zwischenrelation eine Invariante der Bewegung ist, ergibt sich das von selbst.

Fall 2

$A$ $\in$ $g$, $B$ $\notin$ $g$

Beweis:
Den Schnittpunkt von $\overline{B{B}^{\prime }}$ mit $g$ bezeichnen wir mit $L$

Fall 3

$A,B$ $\notin$ $g$, $A$ und $B$ liegen in derselben Halbebene bezüglich $g$

Beweis:

Fall 4

$A,B$ $\notin$ $g$, $A$ und $B$ liegen in verschiedenen Halbebenen bezüglich $g$

Beweis:

Eindeutige Bestimmtheit von Geradenspiegelungen

Bestimmung über die Spiegelgerade

Unmittelbar einsichtig ist der folgende Satz:

Satz 2.2

Jede Geradenspiegelung ist durch die Angabe ihrer Spiegeleachse eindeutig bestimmt.

Satz 2.3

Eine Geradenspiegelung $S$ ist durch die Angabe eines Punktes $P$ und dem Bild von $S(P)$ eindeutig bestimmt, falls $P=S(P)$ gilt.