Geradenspiegelungen (2011/12)

Ideen zur Heranführung an die Geradenspiegelung

Idee der Symmetrie

Die Applikation wurde im WS 2010/11 von tutorin Anne generiert.

Verwendung eines halbdurchlässigen Spiegels

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Falten

Leider sind meine Bilder von der Qualität her zu schlecht geworden, als dass sie hier veröffentlicht werden könnten. Wer hilft? --*m.g.* 13:04, 27. Okt. 2011 (CEST)

Fixgerade vs. Fixpunktgerade

Fehler beim Erstellen des Vorschaubildes: Datei fehlt
--Flo60 18:10, 2. Nov. 2011 (CET)

--Gubbel 18:01, 10. Nov. 2011 (CET)

--*m.g.* 13:59, 8. Nov. 2011 (CET)

Konstruktion des Bildes eines Punktes $P$ bei einer Spiegelung an der Geraden $g$

Reduktion der großen Idee Geradenspiegelung auf: Konstruktion des Bildes eines Punktes bei einer Geradenspiegelung

Übungsaufgabe:

Es sei $P$ ein Punkt der Ebene der nicht zur Geraden $g$ dieser Ebene gehört. Erstellen Sie eine Konstruktionsbeschreibung für die Konstruktion des Bildes von $P$ bei der Spiegelung an $g$. Begründen Sie jeweils die Korrektheit eines jeden Ihrer Konstruktionsschritte.

Konstruktion des Bildes eines Punktes $P$ bei der Spiegelung aneiner Geraden $g$
$(P\notin g)$

Nr.	Beschreibung des Schrittes	Genauere Beschreibung	Begründung der Korrektheit des Schrittes
1.	...	...	...
2.	...	...	...
3.	...	...	...

Bemerkung zum Nachweis der Korrektheit, desjeweiligen Schrittes: Gemeint ist eine Begründung, aus der hervorgeht, dass der jeweilige Schritt (ggf. eindeutig) ausführbar ist.--*m.g.* 13:10, 27. Okt. 2011 (CEST)

Definition des Begriffs

Definition 2.1: (Spiegelung an der Geraden $g$)

Es sei $g$ eine Gerade. Unter der Spiegelung $S_g$ an der Geraden $g$versteht man eine Abbildung der Ebene auf sich, bei der die Gerade g auf sich abgebildet wird und der Punkt P so abgebildet wird, dass gilt: $\overline{P\rho (P)}\perp g$ und $|Pg|=|g\rho (P)|$.

Zweite Möglichkeit (etwas einfacher und plausibler ausgedrückt):

Es sei $g$ eine Gerade. Unter der Spiegelung $S_g$ an der Geraden $g$versteht man eine Abbildung der Ebene auf sich, bei der die Gerade g auf sich abgebildet wird und Mittelsenkrechte der Strecke $\overline{P\rho (P)}$ ist.

--Flo60 20:29, 31. Okt. 2011 (CET)

Die Geradenspiegelung als spezielle Bewegung

Satz 2.1: (Abstandserhaltung von Geradenspiegelungen)

Jede Geradenspiegelung $S_g$ ist eine abstandserhaltende Abbildung.

Beweis von Satz 2.1:

Es seien $A$, $B$ zwei Punkte, die an einer Geraden $g$ auf ihre Bilder $A^{\prime }$ und $B^{\prime }$ gespiegelt werden.

Wir unterscheiden drei Fälle:

Fall 1

$A,B$ $\in$ $g$

Beweis:
Nach der Definition 'Bild eines Punktes bei einer Geradenspiegelung' und des Satzes, dass die Zwischenrelation eine Invariante der Bewegung ist, ergibt sich das von selbst. --Flo60 20:53, 31. Okt. 2011 (CET)

Fall 2

$A$ $\in$ $g$, $B$ $\notin$ $g$

Beweis:
Den Schnittpunkt von $\overline{B{B}^{\prime }}$ mit $g$ bezeichnen wir mit $L$
Zunächst eine Skizze zum 'spielen': Bewege Punkt B nach belieben.

Zu zeigen: |AB| = |AB'|
Direkter Beweis

Fall I: $A\in \overline{B{B}^{\prime }}$: Nach Definition Mittelsenkrechten und Bild eines Punktes bei einer Geradenspiegelung ist dieser Fall bewiesen.

Fall II: $A\in ̸\overline{B{B}^{\prime }}$

Nach der Definition Bild eines Punktes bei einer Geradenspiegelung und Defintion Geradenspiegelung ist g die Mittelsenkrechte von $\overline{B{B}^{\prime }}$
Daraus folgt: |BL| = |LB'|
A und L liegen auf g, danach gilt nach der Reflexivität von '=', das |AL| = |AL|
Da das Mittelsenkrechtenkriterium einen Winkel von 90 vorschreibt, sind auch die beiden Winkel $\mathrm{\angle }BLA$ und $\mathrm{\angle }AL{B}^{\prime }$ kongruent zueinander.
Nach SWS, der Definition von Kongruenz und den drei vorherigen Beweisschritten ist klar, dass |AB| = |AB'| ist.

Wirtschaftlicher wäre der Beweis mit dem Mittelsenkrechtenkriterium zu führen, dort hätte man nur einen Beweisschritt. --Flo60 21:17, 31. Okt. 2011 (CET)

Fall 3

$A,B$ $\notin$ $g$, $A$ und $B$ liegen in derselben Halbebene bezüglich $g$

Beweis:

Sei $L_a:=A{A}^{\prime }\cap g$ und $L_b:=B{B}^{\prime }\cap g$
nach Definition der Gradespiegelung ist g Mittelsenkrechte von $\overline{A{A}^{\prime }}\wedge \overline{B{B}^{\prime }}$
$\Rightarrow L_a\wedge L_b$ sind Mittelpunkt der Strecken $\overline{A{A}^{\prime }}\wedge \overline{B{B}^{\prime }}$
Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\box“): {\displaystyle \Rightarrow \left| AL_a \right| = \left| A'L_a \right| \wedge \left| BL_b \right| = \left| B'L_b \right|\box }
Ferner gilt da g Mittelsenkrechte ist Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\box“): {\displaystyle |\angle L_bL_aA'|=|\angle AL_aL_b|=90\box \box }
Trivialerweise gilt Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\box“): {\displaystyle \left| L_aL_b \right| = \left| L_aL_b \right|\box \box \box }
Aus Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\box“): {\displaystyle \box ,\box \box ,\box \box \box , SWS \Rightarrow \overline{A'L_aL_b}\equiv \overline{AL_aL_b} \Rightarrow \left| A'L_b \right| = \left| AL_b \right| \wedge \angle A'L_bL_a\equiv \angle L_aL_bA \Rightarrow \angle B'L_bA'\equiv \angle AL_bB}
Nun gilt: $\left|A^{\prime }{L}_b\right|=\left|A{L}_b\right|\wedge \left|B^{\prime }{L}_b\right|=\left|B{L}_b\right|\wedge \mathrm{\angle }{B}^{\prime }{L}_b{A}^{\prime }\equiv \mathrm{\angle }A{L}_{b}B$
$\Rightarrow \overline{A^{\prime }{B}^{\prime }{L}_B}\equiv \overline{AB{L}_B}\Rightarrow \left|AB\right|=\left|A^{\prime }{B}^{\prime }\right|$ --Peterpummel 19:42, 7. Nov. 2011 (CET)

Fall 4

$A,B$ $\notin$ $g$, $A$ und $B$ liegen in verschiedenen Halbebenen bezüglich $g$

Beweis

Leitgedanke: Die beiden Dreiecke BB'C und AA'C sind gleichschenklig (trivial)
Es gibt den Schnittpunkt C = AB geschnitten A'B', wegen A und B befinden sich in verschiedenen Halbebenen + wäre wenn nicht widerspruch zur gleischenkligkeit (mittelsenkrechtenkriterium)
und daraus würde dann die Gleichheit folgen.
müsste noch ausformuliert werden. --Peterpummel 22:23, 7. Nov. 2011 (CET)

Eindeutige Bestimmtheit von Geradenspiegelungen

Bestimmung über die Spiegelgerade

Unmittelbar einsichtig ist der folgende Satz:

Satz 2.2

Jede Geradenspiegelung ist durch die Angabe ihrer Spiegeleachse eindeutig bestimmt.

Der Beweis kann direkt geführt werden, da er dem Beweis der Eindeutigkeit des Mittelpunktes nachgeht. Nehmen wir aber dennoch an, es gibt eine zweite Spiegelgerade f, mit f$\ne$ g.

Es seien P ein Punkt und P' das Bild des Punktes P. P' entstand durch Spiegelung an g.
Der Schnittpunkt von $g\cap \overline{P{P}^{\prime }}$ sei L.

Nach der Definition der Geradenspiegelung (bzw. Bild eines Punktes bei der Spiegelung) ist nun L Mittelpunkt von $\overline{P{P}^{\prime }}$.
Da der Mittelpunkt einer Strecke eindeutig ist, muss nun gelten, dass f ebenfalls durch L verläuft und senkrecht ist. Da aber nach dem Winkelkonstruktionsaxiom nur ein Winkel mit dem Maß 90 existiert, muss f $\equiv$ g sein, was ein Widerspruch zu unserer Annahme ist. --Flo60 21:29, 31. Okt. 2011 (CET)

Satz 2.3

Eine Geradenspiegelung $S$ ist durch die Angabe eines Punktes $P$ und dem Bild von $S(P)$ eindeutig bestimmt, falls $P=S(P)$ gilt.

Nach zu Grunde legen der Definition des Bildes eines Punktes bei einer Geradenspiegelung geht dieses unmittelbar aus dem Winkelkonstruktionsaxiom hervor und der Eindeutigkeit des Mittelpunktes. --Flo60 21:31, 31. Okt. 2011 (CET)