Verschiebungen (2011/12)

Definition über zwei Geradenspiegelungen

Definition: (Verschiebung)

Die NAF zweier Geradenspiegelungen $S_b\circ S_a$ mit $a||b$ heißt Verschiebung.

Eigenschaften von Verschiebungen

Die identische Abbildung als Verschiebung

Satz: ($\mathrm{id}$ als Verschiebung)

Es sei $V=S_b\circ S_a$ eine Verschiebung.

Wenn $a||b$ dann $V=\mathrm{id}$.

Beweis

Folgt unmittelbar daraus, dass jede Geradenspiegelung selbstinvers ist.

Parallelität

Satz: (Parallelität bei Geradenspiegelungen)

Es sei $V=S_b\circ S_a$ eine Verschiebung. Für jede Gerade $g$ und ihr Bild $g^{\prime }$ bei $V$ gilt: $g||g^{\prime }$.

Satz: (über die Verschiebungsweite)

Es sei $V=S_b\circ S_a$ eine Verschiebung $V$. Für jedes Paar (Originalpunkt $P$, Bildpunkt$P^{\prime }$ bei $V$) gilt: $|P{P}^{\prime }|=2|ab|$.