Verschiebungen (2011/12)

Definition: (Verschiebung als NAF zweier Geradenspiegelungen)

Die NAF zweier Geradenspiegelungen $S_b\circ S_a$ mit $a||b$ heißt Verschiebung.

Eigenschaften von Verschiebungen

Die identische Abbildung als Verschiebung

Satz: ($\mathrm{id}$ als Verschiebung)

Es sei $V=S_b\circ S_a$ eine Verschiebung.

Wenn $a||b$ dann $V=\mathrm{id}$.

Beweis ($\mathrm{id}$ als Verschiebung)

Folgt unmittelbar daraus, dass jede Geradenspiegelung selbstinvers ist.

Bringen Sie die beiden Spiegelgeraden miteinander zur Deckung.

Parallelität

Satz: (Parallelität bei Geradenspiegelungen)

Es sei $V=S_b\circ S_a$ eine Verschiebung. Für jede Gerade $g$ und ihr Bild $g^{\prime }$ bei $V$ gilt: $g||g^{\prime }$.

Beweis (Parallelität bei Geradenspiegelungen)

Es sei $V=S_{\circ }{S}_a$ eine Verschiebung ($a||b$. Ferner sei $g$ eine beliebige Gerade.

zu zeigen: $S_b\left(S_a\left(g\right)\right)=g^{\prime }||g$

Fall 1 $g\cap a=\{S_1\}$

1. Die Gerade $g$ möge also mit der Spiegelachse $a$ genau den Punkt $S_1$ gemeinsam haben. Mit $\alpha$ sei der Winkel zwischen den Geraden $a$ und $g$ bezeichnet.
2. Weil der Punkt $S_1$ zu $a$ gehört ist er bei $S_a$ ein Fixpunkt.
3. Weil $S_1$ der einzige Punkt ist, den $g$ mit $a$ gemeinsam hat, ist $S_1$ der einzige zu $g$ gehörige Fixpunkt bei $S_a$
4. Mit $g^{*}$ sei das Bild von $g$ bei der Spiegelung an $a$ bezeichnet.
5. Der Winkel zwischen $g^{*}$ und $a$ sei mit ${\alpha }^{*}$ bezeichnet.
6. Das Zwischenbild $g^{*}$ kann nicht parallel zu $b$ sein.
7. Dementsprechend hat $g^{*}$ mit $b$ genau einen Punkt gemeinsam. Wir bezeichnen ihn mit $S_2$.
8. Der Winkel zwischen $g^{*}$ und $b$ sei mit $\beta$ bezeichnet.
9. Als Punkt der Geraden $b$ ist $S_2$ Fixpunkt bei $S_b$.
10. Weil $S_2$ der einzige Punkt ist, den $g^{*}$ mit $b$ gemeinsam hat, ist $S_2$ der einzige zu $g^{*}$ gehörige Fixpunkt bei $S_b$.
11. Das Bild von $g^{*}$ bei der Spiegelung an $b$ sei mit $g^{**}$ bezeichnet. Es ist identisch mit dem Bild $g^{\prime }$von $g$ bei der Verschiebung $S_b\circ S_a$.
12. Der Winkel zwischen $g^{\prime }$ und $b$ sei mit ${\beta }^{*}$ bezeichnet.

Ergänzen Sie das folgende Beweisschema

Nr.	Beweisschritt	Begründung
(I)	$\alpha \widetilde{=}{\alpha }^{*}$	...
(II)	$\beta \widetilde{=}{\beta }^{*}$	...
(III)	${\alpha }^{*}\widetilde{=}\beta$	...
(IV)	...	...
(V)	$g||g^{\prime }$	...

Verschiebungsweite

Satz: (über die Verschiebungsweite)

Es sei $V=S_b\circ S_a$ eine Verschiebung $V$. Für jedes Paar (Originalpunkt $P$, Bildpunkt$P^{\prime }$ bei $V$) gilt: $|P{P}^{\prime }|=2|ab|$.