Übersicht Axiome

Axiome

Inzidenzaxiome

Axiom I.0:

Geraden und Ebenen sind Punktmengen.

Axiom I.1: (Axiom von der Geraden)

Zu zwei beliebigen verschiedenen Punkten gibt es genau eine Gerade, die die beiden Punkte enthält.

Axiom I.2:

Zu jeder Geraden gibt es (wenigstens) zwei verschiedene Punkte, die dieser Geraden angehören.

Axiom I.3:

Es gibt wenigstens 3 paarweise verschiedene Punkte, die nicht kollinear sind.

Axiom I.4:

Zu je drei nichtkollinearen Punkten gibt es genau eine Ebene, die diese drei Punkte enthält. Jede Ebene enthält (wenigstens) einen Punkt.

Axiom I.5:

Wenn zwei Punkte einer Geraden g in einer Ebene E liegen, so gehört g zu E.

Axiom I.6:

Wenn zwei Ebenen einen Punkt gemeinsam haben, so haben sie noch mindestens einen weiteren Punkt gemeinsam.

Axiom I.7:

Es gibt vier paarweise verschiedene Punkte, die nicht komplanar sind.

Abstandsaxiome

Axiom II.1: (Abstandsaxiom)

Zu je zwei Punkten $ \ A $ und $ \ B $ gibt es eine eindeutig bestimmte nicht negative reelle Zahl $ \ d $ mit $ d=0:\Leftrightarrow A=B $.

Axiom II.2:

Für zwei beliebige Punkte $ \ A $ und $ \ B $ gilt $ \left|AB\right|=\left|BA\right| $.

Axiom II/3: (Dreiecksungleichung)

Für drei beliebige Punkte $ \ A,B $ und $ \ C $ gilt: $ \left|AB\right|+\left|BC\right|\geq \left|AC\right|. $

Falls $ \operatorname {koll} \left(ABC\right) $, dann ist eine der folgenden Gleichungen erfüllt:

$ \left|AB\right|+\left|BC\right|=\left|AC\right| $

$ \left|AC\right|+\left|CB\right|=\left|AB\right| $

$ \left|BA\right|+\left|AC\right|=\left|BC\right| $

Ist umgekehrt eine dieser drei Gleichungen erfüllt, so sind $ \ A $, $ \ B $ und $ \ C $ kollinear.

Axiom III.1: (Axiom vom Lineal)

Zu jeder nicht negativen reelen Zahl $ \ d $ gibt es auf jedem Strahl $ \ p $ genau einen Punkt, der zum Anfangspunkt von $ \ p $ den Abstand $ \ d $ hat.

Axiom III.2: (Das Axiom von Pasch)

Gegeben sei ein Dreieck $ {\overline {ABC}} $. Ferner sei $ \ g $ eine Gerade, die durch keinen der drei Eckpunkte $ \ A,B,C $ geht. Wenn $ \ g $ eine der drei Seiten des Dreiecks $ {\overline {ABC}} $ schneidet, dann schneidet $ \ g $ genau eine weitere Seite des Dreiecks $ {\overline {ABC}} $.

Axiom IV.1: (Winkelmaßaxiom)

Zu jedem Winkel $ \ \alpha $ gibt es genau eine reelle Zahl $ \ \omega $ zwischen 0 und 180.

Axiom IV.2: (Winkelkonstruktionsaxiom)

Es sei $ \ g\equiv SA $ eine Gerade in der Ebene $ \ E $. Zu jeder reellen Zahl $ \ \omega $ mit $ \ 0<\omega <180 $ gibt es in jeder der beiden durch $ \ g $ bestimmten Halbebenen der Ebene $ \ E $ genau einen Strahl $ \ SB^{+} $ mit $ \ \left|\omega \right|=\left|\angle ASB\right| $

Axiom IV.3: (Winkeladditionsaxiom)

Wenn der Punkt $ \ P $ zum Inneren des Winkels $ \ \angle ASB $ gehört , dann gilt $ \ \left|\angle ASP\right|+\left|\angle PSB\right|=\left|\angle ASB\right| $.

Axiom IV.4: (Supplementaxiom)

Nebenwinkel sind supplementär.

Axiom V: (Kongruenzaxiom SWS)

Wenn für zwei Dreiecke $ {\overline {ABC}} $ und $ {\overline {DEF}} $ die folgenden 3 Kongruenzen

1. $ {\overline {AB}}{\tilde {=}}{\overline {DE}} $
2. $ {\overline {AC}}{\tilde {=}}{\overline {DF}} $
3. $ \angle CAB{\tilde {=}}\angle FDE $

gelten,

dann sind die beiden Dreiecke $ {\overline {ABC}} $ und $ {\overline {DEF}} $ kongruent zueinander.

Euklidisches Parallelenaxiom

Zu jedem Punkt $ \ P $ außerhalb einer Geraden $ \ g $ gibt es höchstens eine Gerade $ \ h $, die durch $ \ P $ geht und zu $ \ g $ parallel ist.