Übung Aufgaben 11 (WS 21 22)

Aufgabe 11.1

Beweisen Sie Satz IX.4: Bei einer Punktspiegelung werden Geraden stets auf parallele Bildgeraden abgebildet.
Lösung von Aufgabe 11.1P (WS_21_22)

Aufgabe 11.2

Beweisen Sie Satz IX.9:
Gegeben seien zwei zueinander parallele Spiegelgeraden a und b. Wir betrachten die Verkettung $S_a\circ S_b$. Jeder Punkt P hat dabei zu seinem Bildpunkt $P^{″}=S_a\circ S_b(P)$ einen Abstand der doppelt so groß ist wie der Abstand der beiden Spiegelgeraden.
Lösung von Aufgabe 11.2P (WS_21_22)

Aufgabe 11.3

Welche wichtige Erkenntnis ergibt sich aus Satz IX.9 für die absolute und relative Lage der beiden Spiegelgeraden?
Lösung von Aufgabe 11.3P (WS_21_22)

Aufgabe 11.4

Durch welche Abbildung kann die Verkettung zweier Punktspiegelungen ersetzt werden? Begründen Sie!
Lösung von Aufgabe 11.4P (WS_21_22)

Aufgabe 11.5

Gegeben sei ein Dreieck $\overline{ABC}$ und die Geraden a, b, c und d mit: $a\perp b$ und $c||d$ entsprechend der Skizze.

1. Durch welche Abbildung kann die Verkettung der vier Geradenspiegelungen $S_a\circ S_b\circ S_c\circ S_d$ ersetzt werden (Begründen Sie Ihre Entscheidung)?
2. Zeichnen Sie die Achsen der Ersatzabbildung in die Skizze oben ein. Hinweis: Sie dürfen das Gitter im Hintergrund als Orientierung nutzen.
3. Konstruieren Sie oben in der Skizze das Bild des Dreiecks $\overline{ABC}$, das nach der Verkettung $S_a\circ S_b\circ S_c\circ S_d$ entsteht, mit Hilfe der Ersatzabbildung.
   

Lösung von Aufgabe 11.5P (WS_21_22)

Aufgabe 11.6

Dargestellt ist hier die Nacheinanderausführung zweier Abbildungen ${\phi }_1,{\phi }_2$, mit $\mathrm{△}\overline{a^{\prime }{b}^{\prime }{c}^{\prime }}={\phi }_1(\mathrm{△}\overline{abc})$ und $\mathrm{△}\overline{a^{″}{b}^{″}{c}^{″}}={\phi }_2(\mathrm{△}\overline{a^{\prime }{b}^{\prime }{c}^{\prime }})$.

1. wie heißen die beiden Abbildungen ${\phi }_1$ und ${\phi }_2$?
2. Zeichnen Sie jeweils für ${\phi }_1$ und ${\phi }_2$ die passende Anzahl von Spiegelachsen in die Skizze ein.
3. Durch welche Ersatzabbildung kann die Verkettung ${\phi }_1\circ {\phi }_2$ ersetzt werden (Begründen Sie Ihre Entscheidung)?
4. Zeichnen Sie die Achsen der Ersatzabbildung in die Skizze ein.

Lösung von Aufgabe 11.6P (WS_21_22)