Übungen 06

Aufgabe 1

Gegeben sind ein Unterraum $ U $ eines Vektorraums $ V $ und Vektoren $ {\vec {u}},{\vec {u}}\in V $.
Welche der Aussagen sind richtig? Geben Sie Begrünudngen oder Gegenbeispiele an.

a) Gehören $ {\vec {u}} $ und $ {\vec {v}} $ nicht zu $ U $, so ist auch $ {\vec {u}}+{\vec {v}}\not \in V $.

b) Gehören $ {\vec {u}} $ und $ {\vec {v}} $ nicht zu $ U $, so ist auch $ {\vec {u}}+{\vec {v}}\in V $.

c) Gehört $ {\vec {u}} $ zu U, nicht aber $ {\vec {v}} $, so ist $ {\vec {u}}+{\vec {v}}\not \in V $.

Aufgabe 2

Geben Sie bei folgenden Teilmengen des Vektorraums $ \mathbb {R} ^{3} $ an, ob Sie Unterräume sind; begründen Sie Ihre Aussagen!

a) $ U_{1}:=\left\{\left.{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{3}\;\;\right|\;\;v_{1}+v_{2}=2\right\} $

b) $ U_{2}:=\left\{\left.{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{3}\;\;\right|\;\;v_{1}+v_{2}=v_{3}\right\} $

c) $ U_{3}:=\left\{\left.{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\end{pmatrix}})\in \mathbb {R} ^{3}\;\;\right|\;\;v_{1}\cdot v_{2}=v_{3}\right\} $

Aufgabe 3

Begründen Sie, dass Lösungsmengen inhomogener Gleichungssysteme keine Unterräume sind.

Aufgabe 4

Weisen Sie nach, dass die Menge aller 2x2 Matrizen der Form $ {\begin{pmatrix}a&0\\0&b\end{pmatrix}} $ mir $ a,b\in \mathbb {R} $ und den in der Vorlesung verwendeten Verknüpfungen $ + $ und $ \cdot $ ein Unterraum aller Matrizen der Form $ {\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}} $ ist.