Übungsaufgaben zur Algebra, Serie 1 SoSe 2019

Aufgabe 01 Beweisen Sie: Die natürlichen Zahlen bilden sowohl bzgl. der Addition als auch bezüglich der Multiplikation keine Gruppe. Aufgabe 02 Es sei $M_{2\times 2}$ die Menge aller $2\times 2-$Matrizen. Beweisen Sie: $\mathrm{\exists }E\in M_{2\times 2}\mathrm{\forall }M\in M_{2\times 2}:E\cdot M=M\cdot E=M$. Aufgabe 03 Geben Sie $10$ Nullteiler aus $M_{2\times 2}$ an. Aufgabe 04 Es sei $D_{45}:=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{2}\sqrt{2}& -\frac{1}{2}\sqrt{2}\\ \frac{1}{2}\sqrt{2}& \frac{1}{2}\sqrt{2}\end{array}\right)$. Ergänzen Sie $D:=\{D_{45},\dots \}$ derart, dass $[D,\cdot ]$ eine Gruppe ist. Aufgabe 05 Beweisen Sie: Die Matrix $\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 4\end{array}\right)$ ist nicht invertierbar. Aufgabe 06 $A:=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$ Wir definieren die Determinante $det(A)$ wie folgt: $det(A):=|A|:=a\cdot d-b\cdot c$ Beweisen Sie: Die Matrizenmultiplikation ist abgeschlossen auf der Menge aller $2\times 2-$Matrizen, deren Determinante 1 ist. Aufgabe 07 Wir definieren ${\mathbb{𝕆}}_n:=\{\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)|a,b,c,d\in \mathbb{ℝ}\wedge a^2+c^2=1\wedge b^2+d^2=1\wedge ab+cd=0\wedge ac+bd=0\}$ Beweisen Sie: ${\mathbb{𝕆}}_n$ bildet bzgl. der Matrizenmultiplikation eine Gruppe.