Übungsaufgaben zur Algebra, Serie 5 SoSe 2018

Aufgabe 5.1 Es sei $[G,\circ ]$ eine Gruppe mit dem Einselement $e$. Beweisen Sie: $\mathrm{\forall }a\in G:(a^{-1}{)}^{-1}=a$. Aufgabe 5.2 Es sei $[G,\circ ]$ eine Gruppe mit dem Einselement $e$. Beweisen Sie: $\mathrm{\forall }a,b\in G:(a\circ b{)}^{-1}=b^{-1}\circ a^{-1}$. Aufgabe 5.3 Beweisen Sie das Untergruppenkriterium 1. Aufgabe 5.4 Beweisen Sie das Untergruppenkriterium 2. Aufgabe 5.5 Bestimmen Sie die zu $\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$ inverse Matrix. Aufgabe 5.6 Bestimmen Sie die zu $\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 1& 4\end{array}\right)$ inverse Matrix. Aufgabe 5.7 Erstellen Sie einen Untergruppengraphen der Gruppe der Deckabbildungen des Quadrates. Aufgabe 5.8 Beweisen Sie: Die Gruppe der durch $2$ teilbaren ganzen Zahlen ist eine Untergruppe der Gruppe der ganzen Zahlen. Aufgabe 5.9 Beweisen Sie: Die Menge der ungeraden ganzen Zahlen ist bezüglich der Addition keine Untergruppe der ganzen Zahlen. Aufgabe 5.10 Geben Sie zwei Matrizen an, die selbstinvers sind.