Der Schwerpunkt und die Seitenhalbierenden eines Dreiecks

Die Fotos demonstrieren, was unter dem Schwerpunkt eines Dreiecks zu verstehen ist. Erstellen Sie das Skript selbst.

Seitenhalbierende eines Dreiecks

Definition Seitenhalbierende eines Dreiecks

Eine Seitenhalbierende eines Dreiecks ist eine Gerade die durch einen Eckpunkt des Dreiecks $\overline{ABC}$ und den Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite dieses Eckpunktes verläuft.
--Löwenzahn 10:36, 21. Jul. 2010 (UTC)

Üblicherweise werden die Seitenhalbierenden eines Dreiecks als Strecken definiert, da sich diese Strecken dann in einem ganz bestimmten Verhältnis teilen (erinnern Sie sich an Ihre Schulzeit?). --Schnirch 14:48, 25. Jul. 2010 (UTC)

Eine Seitenhalbierende eines Dreiecks ist eine Strecke, für die gilt, dass ein Eckpunkt des Dreiecks und der Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite dieses Eckpunktes Endpunkte der Strecke sind.--Löwenzahn 15:09, 25. Jul. 2010 (UTC)

Satz: Existenz und Eindeutigkeit der Seitenhalbierende

Es existiert zu jeder Seite eines Dreiecks $\overline{ABC}$ genau eine Seitenhalbierende.

Teil 1: Existenz

Voraussetzung: Dreieck $\overline{ABC}$ mit schulüblichen Bezeichnungen
Behauptung: (o.B.d.A) Es existiert eine Gerade $s_a$ zwischen dem Mittelpunkt der Seite $a$ und dem Punkt $A$.

(1) Es existiert (genau) ein Punkt $M_a$: Mittelpunkt der Seite a (der Strecke $\overline{BC}$).

Begründung - Satz III.1: (Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunkte einer Strecke)

(2) Es existiert (genau) eine Gerade $s_a$, die durch die Punkte $M_a$ und $A$ geht.

Begründung - Axiom I.1: (Axiom von der Geraden) "Zu zwei beliebigen verschiedenen Punkten gibt es genau eine Gerade, die die beiden Punkte enthält. "

Teil 2: Eindeutigkeit

Da die in Schritt (1) und (2) verwandten Sätze / Axiome von Existenz und Eindeutigkeit sprechen, ist mit dem Existenz-"Beweis" auch die Eindeutigkeit bewiesen. --Heinzvaneugen 15:32, 21. Jul. 2010 (UTC)

Schwerpunkt eines Dreiecks

Satz: Schnittpunkt der Seitenhalbierende eines Dreiecks

Die Seitenhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in genau einem Punkt.
--Löwenzahn 10:37, 21. Jul. 2010 (UTC)

Beweis - erst mit Strahlensätze möglich, oder? --Heinzvaneugen 13:23, 22. Jul. 2010 (UTC)
--Löwenzahn 15:18, 22. Jul. 2010 (UTC) Denke auch, dass es noch nicht geht.

Definition Schwerpunkt eines Dreiecks

Der Schwerpunkt eines Dreiecks ist der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden des Dreiecks.--Löwenzahn 10:36, 21. Jul. 2010 (UTC)