Die abelsche Gruppe der geordneten Paare reeller Zahlen 2012 13

Die nichtleere Menge $ \mathbb {R} ^{2}:=\mathbb {R} \times \mathbb {R} $ Die additive Verknüpfung Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): \forall \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^2: \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix} \oplus \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} x_1+x_2 \\ y_1+y_2 \end{pmatrix}\ Abgeschlossenheit der additiven Verknüpfung $ \oplus $auf $ \mathbb {R} ^{2} $ Folgt unmittelbar aus der Abgeschlossenheit der Addition auf $ \mathbb {R} $ Die Assoziativität von $ \oplus $ auf $ \mathbb {R} ^{2} $ ... Ergänzen Sie selbst. Das neutrale Element bzgl. $ \oplus $ $ {\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}} $ leistet das Verlangte. (Überzeugen Sie sich davon.) Die Inversen Elemente bzgl. $ \oplus $ $ \forall {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{2}:{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\oplus {\begin{pmatrix}-x\\-y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}} $ Kommutativität von $ \oplus $ Folgt unmittelbar aus der Kommutativität der Addition reeller Zahlen.