Drehungen 2010

Konstruktion des Bildes eines Punktes $P$ bei einer Drehung um $Z$ mit dem Drehwinkel $\alpha$

Konstruktionsbeschreibung

Es seien $Z$ und $P$ zwei Punkte der Ebene. Ferner sei $\alpha$ ein gerichteter Winkel.

Das Bild von $P$ bei einer Drehung um $Z$ wird wie folgt konstruiert:

Fall 1: $P\equiv Z$ ,dann ist $P\equiv P^{\prime }$ (P' ist das Bild)

Fall 2: $P\equiv ̸Z$, dann

Konstruktion des Bildes eines Punktes $P$ bei einer Drehung um $Z$ mit dem Drehwinkel $\alpha$ im Falle $P\equiv ̸Z$

Schrittnr.	Konstruktionsschritt	Begründung der Korrektheit des Konstruktionsschrittes
(I)	Konstruiere den Strahl $ZQ+$ an den Strahl $ZP+$ mit dem Winkel $\alpha$ so an, dass die positive Orientierung von $\alpha$ für < $PZ{P}^{\prime }$erhalten bleibt.	Winkelkonstruktionsaxiom
(II)	Trage die Strecke$\overline{ZP}$ auf $ZQ+$ an $Z$ ab und nenne den Punkt $P^{\prime }$.	Axiom vom Lineal--Tja??? 10:56, 11. Nov. 2010 (UTC)

Konstruktionsbeschreibung für Konstruktion nur mit Zirkel und Lineal

1) Wir zeichnen mit dem Zirkel einen Kreis k₁ um Z, der durch P geht.

2) Mit demselben Radius zeichnen wir nun einen Kreis um S.

3) Die Schnittpunkte mit den Schenkeln p un q bezeichnen wir mit R und Q.

4) Wir nimm die Strecke RQ in die Zirkelspanne,

5) zeichne mit der Strecke RQ als Radius einen zweiten Kreis k₂ um P.

6) Die Schnittpunkte der beiden Kreise k₁ und k₂ benennen wir mit S₁ und S₂.

7) Da der Winkel α mathematisch positiv gerichtet ist, muss auch der Drehwinkel der Abbildung positiv gerichtet sein.
8) Wir zeichnen die Strahlen ZP⁺ und ZS₂⁺.

9) S₂ ist P', der Bildpunkt von P.
--Nicola 12:35, 11. Nov. 2010 (UTC) --Andreas 13:00, 11. Nov. 2010 (UTC) --phhd_mat 12:35, 11. Nov. 2010 (UTC)

Konstruktionsbeschreibung 2:

1. Zeichne einen Kreis k₁ mit Radius $\overline{ZP}$ um den Mittelpunkt Z.
2. Zeichne einen Kreis mit Radius $\overline{ZP}$ um den Mittelpunkt S (Scheitelpunkt des Winkels $\alpha$ ). Nenne die Schnittpunkte R und Q.
3. Zeichne einen Kreis k₂ mit Radius $\overline{RQ}$ um den Mittelpunkt P.
4. Die Kreise k₁ und k₂ haben zwei Schnittpunkte. Nenne sie P₁' und P₂'. Zeichne die Strahlen ZP₁'⁺, ZP⁺ und ZP₂'⁺. Je nach Drehrichtung des Winkels $\alpha$, ist P₁' bzw. P₂' der Bildpunkt von P.
--morita 11:13, 15. Nov. 2010 (UTC)

Definition des Begriffs der Drehung um einen Punkt $Z$ mit dem Drehwinkel $\alpha$

Definition 5.1: (Drehung um einen Punkt $Z$ mit dem Drehwinkel $\alpha$

Es sei $Z$ ein Punkt der Ebene und $\alpha$ ein gerichteter Winkel. Unter der Drehung um $Z$ mit dem Drehwinkel $\alpha$ versteht man eine Abbildung der Ebene auf sich für die folgendes gilt:

$\mathrm{\forall }P\in$ der Ebene gilt:

1. $P=P^{\prime }$ , falls $P=Z$
2. $|ZP|=|Z{P}^{\prime }|$ und |$\mathrm{\angle }PZ{P}^{\prime }$| = $|\alpha |$, falls $P=Z$
   --Tja???,Andreas 22:44, 11. Nov. 2010 (UTC)

Definition verstanden?

Welche der folgenden Aussagen sind wahr?

	(a) Der Punkt $A$ wird bei der Drehung um $Z$ mit dem Drehwinkel $\alpha =45^{\circ }$ auf den Punkt $B$ abgebildet.
	(b) Es gibt eine Drehung für die gleichzeitig gilt: Das Bild von $B$ ist $E$, das Bild von $E$ ist $H$, das Bild von $H$ ist $K$, ..., das Bild von $W$ ist $B_1$
	(c) (b) ist äquivalent zu: Es gibt einen Kreis auf dem die Punkte $B,E,H,K,U,Q,T,W,B_1$ liegen.
	(d) Der Punkt $A$ wird bei der Drehung um $Z$ mit dem Drehwinkel $\alpha =40^{\circ }$ auf den Punkt $D$ abgebildet.
	(e) Die Winkelhalbierenden der Winkel bei der obigen Darstellung, deren Scheitelpunkte alle auf ein und demselben Kreis liegen, sind parallel zueinander.
	(f) Das Dreieck QPR wird bei einer Drehung um $Z$ mit dem Drehwinkel $\alpha =50^{\circ }$ auf das Dreieck TSU abgebildet.
	(g) Die Mittelsenlkrechten der Strecken AD, DG, GJ, JM,... schneiden sich im Punkt Z
	(h) Es gibt eine Drehung für die gleichzeitig gilt: Das Bild von $L$ ist $O$, das Bild von $O$ ist $R$, das Bild von $R$ ist $U$, ..., das Bild von $F$ ist $I$

2 Sätze und der dazugehörige Beweis

Ich habe mal zwei Beweise angefertigt und stelle sie an dieser Stelle allen zur Verfügung um darüber zu diskutieren. Gibt es Fehler in der Logik, der Schreibweise oder bei den Begründungen? Ich bin mir eben nicht ganz sicher :)

Satz: Jede Drehung $D_{Z,\beta }$ ist eine Bewegung.

Beweis

Voraussetzung: Drehung D um Punkt Z mit dem Winkel $\beta$
Behauptung: |PQ|=|P'Q'|

Beweisschritt	Begründung
1) $\overline{ZP}\cong \overline{Z{P}^{\prime }}$	folgt unmittelbar aus der Definition: (Drehung)
2) $\overline{ZQ}\cong \overline{Z{Q}^{\prime }}$	folgt unmittelbar aus der Definition: (Drehung)
3) $\mathrm{\angle }PZ{P}^{\prime }\cong \mathrm{\angle }QZ{Q}^{\prime }$	folgt unmittelbar aus der Definition: (Drehung)
4) $|{\alpha }^{\prime }|=|{\beta }^{\prime }|+|\alpha -\beta |$ $|{\alpha }^{\prime }|=|\alpha |$	rechnen in den reellen Zahlen, folgt aus Schritt 3, da $\beta =\mathrm{\angle }PZ{P}^{\prime }$ und ${\beta }^{\prime }=\mathrm{\angle }QZ{Q}^{\prime }$
5) $\mathrm{△}ZPQ\cong \mathrm{△}Z{P}^{\prime }{Q}^{\prime }$	folgt aus den Schritten 1-4, sws
6) $\overline{PQ}\cong \overline{P^{\prime }{Q}^{\prime }}$	folgt aus Schritt 5
7) $|PQ|=|P^{\prime }{Q}^{\prime }|$	folgt aus Schritt 6, q.e.d

--Andreas 14:22, 9. Nov. 2010 (UTC)

Satz: Wenn eine Bewegung $\varphi$ genau einen Fixpunkt Z hat, dann ist $\varphi$ eine Drehung um den Fixpunkt Z.

Beweis

Voraussetzung: $\varphi$ ist eine Bewegung, $\varphi$ hat genau eine Fixpunkt Z
Behauptung: $\beta \cong {\beta }^{\prime }$

Beweisschritt	Begründung
1. $P\ne P^{\prime },Q\ne Q^{\prime }$	folgt unmittelbar aus der Voraussetzung (genau ein Fixpunkt Z)
2. $\overline{ZP}\cong \overline{Z{P}^{\prime }}$	folgt unmittelbar aus der Voraussetzung bzw. der Def. Bewegung (Bewegung ist abstandserhaltend)
3. $\overline{ZQ}\cong \overline{Z{Q}^{\prime }}$	folgt unmittelbar aus der Voraussetzung bzw. der Def. Bewegung (Bewegung ist abstandserhaltend)
4. $\overline{PQ}\cong \overline{P^{\prime }{Q}^{\prime }}$	folgt unmittelbar aus der Voraussetzung bzw. der Def. Bewegung (Bewegung ist abstandserhaltend)
5. $\mathrm{△}ZPQ\cong \mathrm{△}Z{P}^{\prime }{Q}^{\prime }$	sss, folgt aus den Schritten 2-4
6. $\alpha \cong {\alpha }^{\prime }$ $|\alpha |=|{\alpha }^{\prime }|$	folgt aus Schritt 5
7.$|{\beta }^{\prime }|=|{\alpha }^{\prime }|+|\beta |-|\alpha |$ $|{\beta }^{\prime }|=|\beta |$ ${\beta }^{\prime }\cong \beta$	rechnen in den reellen Zahlen, Schritt 6

--Andreas 15:13, 11. Nov. 2010 (UTC)