Lösung von Aufg. 12.2

Beweisen Sie:
Korollar 2 zum schwachen Außenwinkelsatz

Die Summe der Größen zweier Innenwinkel eines Dreiecks ist stets kleiner als 180.

Lösung--Schnirch 10:19, 4. Feb. 2011 (UTC)

Voraussetzung: Dreieck $\overline{ABC}$ mit den schulüblichen Bezeichnungen.
Behauptung: Die Summe der Größen zweier Innenwinkel eines Dreiecks ist stets kleiner als 180.

Nr.	Beweisschritt	Begründung
(I)	Es gilt: $|\alpha| \ < |\beta'|$ und $|\gamma| \ < |\beta'|$	schwacher Außenwinkelsatz
(II)	$|\beta| \ + |\beta'| = 180$	Axiom IV.4: (Supplementaxiom): Nebenwinkel sind supplementär.
(III)	$\ |\beta'| = 180 - |\beta|$	(II), Rechnen in R
(IV)	$|\alpha| \ < 180 - |\beta|$ und $|\gamma| \ < 180 - |\beta|$	(I), (III), Rechnen in R
(V)	$|\alpha| + |\beta|\ < 180$ und $|\gamma| + |\beta| \ < 180$	(IV), Rechnen in R
(VI)	Noch zu zeigen: $|\alpha| + |\gamma|\ < 180$
(VII)	Es gilt: $|\beta| \ < |\alpha'|$ und $|\gamma| \ < |\alpha'|$	schwacher Außenwinkelsatz
(VII)	weitere Schritte analog zu Schritte (II) bis (V)

vorangegangene Lösung

Vor: Dreieck ABC
Beh: o.B.d.A $\alpha$+ $\beta$ < 180
$\alpha$+ $\gamma$ < 180
$\beta$ + $\gamma$ < 180

1)$\beta$ und $\beta1$ sind Nebenwinkel und supplementär__________Def. Nebenwinkel und Supplementaxiom
2) $\beta$+$\beta1$ = 180_____________________Def. supplementär
3)$\beta1$ > $\alpha$ ___________________schwacher Außenwinkelsatz
4)180-$\beta$ > $\alpha$_____________2) und 3)(2) in 3) Einsetzen) und Rechnen in R
5)180 > $\alpha$+$\beta$________________4)
6)$\alpha$+ $\beta$ < 180___________________5)--Engel82 17:31, 19. Jan. 2011 (UTC)