Lösung von Aufg. 14.6 (SoSe 11)

Man beweise: Ein Punkt $P$ gehört genau dann zur Winkelhalbierenden des Winkels $\alpha$, wenn er zu den Schenkeln von $\alpha$ jeweils denselben Abstand hat.

$Vor:\alpha =\mathrm{\angle }a,b=\mathrm{\angle }ASB$
$Winkelhalbierende:S{W}^{+}$
$PunktP,|Pa|=|Pb|$
$Beh:P\in S{W}^{+}$

$1)|PS|=|PS|$....(trivial)
$2)EsseildasLotdurchPaufamitLotfusspunktLa$....(Ex. + Eind. des Lots)
$3)EsseimdasLotdurchPaufbmitLotfusspunktLb$....(Ex. + Eind. des Lots)
$4)|PLa|=|PLb|$....(Vor.)
$5)|\mathrm{\angle }PLaS|=|\mathrm{\angle }PLbS|=90$....(Def. Lot, Vor)
$6)\mathrm{△}PLaS\cong \mathrm{△}PLbS$....(1,4,5, SsW, Der gilt, nach Korollar1 zum schwachen Außenwinkelsatz haben die Dreiecke mindestens zwei spitze Innenwinkel, Damit liegt dem rechten Winkel die längste Seite gegenüber (Satz größerer Winkel, größere Seite))
$7)\mathrm{\angle }LaSP\cong \mathrm{\angle }LbSP$....(6)
$8)S{P}^{+}istWinkelhalbierendeS{W}^{+}$....(7, Def WH)
q.e.d. ---phil- 22:19, 19. Jul. 2011 (CEST)