Lösung von Aufg. 8.3

Der Punkt $ \ B $ möge die Strecke $ {\overline {AC}} $ derart in die Teilstrecken $ {\overline {AB}} $ und $ {\overline {BC}} $ teilen, dass $ \left|AB\right|>\left|BC\right| $ gilt. Beweisen Sie:
Wenn $ {\frac {\left|AC\right|}{\left|AB\right|}}={\frac {\left|AB\right|}{\left|BC\right|}} $, dann $ {\frac {\left|AC\right|}{\left|AB\right|}}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}} $.

Die nachfolgende super korrekte und ausführliche Lösung wurde von einer Studentin ins Netz gestellt:--Schnirch 14:08, 14. Dez. 2010 (UTC)

Voraussetzung:

1) $ {\frac {|AC|}{|AB|}}={\frac {|AB|}{|BC|}} $

2) $ \ |AB|+|BC|=|AC| $

Behauptung:

$ {\frac {|AC|}{|AB|}}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}} $

Beweis:

(2) $ \ |AB|+|BC|=|AC| $

$ \Rightarrow \ \ |BC|=|AC|-|AB| $

eingesetzt in (1) folgt daraus

$ {\frac {|AC|}{|AB|}}={\frac {|AB|}{|AC|-|AB|}}\ \ \ \ \ |\ \cdot |AB|\cdot (|AC|-|AB|) $

$ \Rightarrow \ \ |AC|\cdot (|AC|-|AB|)=|AB|^{2}\ \ \ \ \ |\ -|AB|^{2} $

$ \Rightarrow \ \ |AC|^{2}-|AB|\cdot |AC|-|AB|^{2}=0 $

Mit der p,q-Formel folgt daraus

$ |AC|_{1/2}={\frac {|AB|}{2}}\pm {\sqrt {{\frac {|AB|^{2}}{4}}+|AB|^{2}}} $

Die 2. Lösung mit negativem Vorzeichen fällt weg.

$ \Rightarrow \ \ |AC|={\frac {|AB|}{2}}+{\sqrt {\frac {5\cdot |AB|^{2}}{4}}} $

$ \Rightarrow \ \ |AC|={\frac {|AB|}{2}}+{\frac {|AB|}{2}}\cdot {\sqrt {5}} $

$ \Rightarrow \ \ |AC|={\frac {|AB|}{2}}\cdot (1+{\sqrt {5}}) $

$ \Rightarrow \ \ |AC|=|AB|\cdot {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\ \ \ \ \ |\ :|AB| $

$ \Rightarrow \ \ {\frac {|AC|}{|AB|}}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}} $

q.e.d --Sternchen 17:05, 10. Jun. 2010 (UTC)