Lösung von Aufgabe 12.3
Aufgabenstellung
Beweisen Sie:
Korollar 2 zum schwachen Außenwinkelsatz
- Die Summe der Größen zweier Innenwinkel eines Dreiecks ist stets kleiner als 180.
Lösung 1
Die Beweisführung ist natürlich sehr ähnlich zu Aufgabe 12.2.
Der Einfachheit halber werden die Winkel mit $ \alpha \ \beta \ \gamma $ bezeichnet, die jeweiligen Außenwinkel sind dann $ \alpha '\ \beta '\ \gamma ' $.
Voraussetzung: Dreieck $ {\overline {ABC}} $
Behauptung; Die Summe der Größen zweier Innenwinkel eines Dreiecks ist stets kleiner als 180.
Indirekter Beweis. Annahme: Die Summe der Größen zweier Innenwinkel eines Dreiecks kann 180 oder mehr betragen.
| Nr. | Beweisschritt | Begründung |
|---|---|---|
| (I) | Es gilt: $ |\alpha |\ <|\beta '| $ und $ |\gamma |\ <|\beta '| $ | schwacher Außenwinkelsatz |
| (II) | $ |\beta |\ +|\beta '|=180 $ | Axiom IV.4: (Supplementaxiom): Nebenwinkel sind supplementär. |
| (III) | $ \ |\beta '|=180-|\beta | $ | (II), Algebraische Umformung |
| (IV) | $ |\alpha |\ <180-|\beta | $ und $ |\gamma |\ <180-|\beta | $ | (I), (III) |
| (V) | $ |\alpha |+|\beta |\ <180 $ und $ |\gamma |+|\beta |\ <180 $ | (IV), Algebraische Umformung |
| (VI) | Es gilt: $ |\beta |\ <|\alpha '| $ und $ |\gamma |\ <|\alpha '| $ | schwacher Außenwinkelsatz |
| (VII) | $ |\alpha |+|\gamma |\ <180 $ und $ |\beta |+|\gamma |\ <180 $ | Beweis zusammengefasst, analog zu Schritte (I) bis (V) |
Aus (V) und (VII) folgt, dass die Annahme verworfen werden muss.
--Heinzvaneugen 01:55, 12. Jul. 2010 (UTC)
== Lösung 2 ==
Sei ABC ein Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen. Laut dem schwachen Außenwinkelsatz gilt, dass $ |\alpha |\ <|\beta '| $.
Zudem gilt wegen Nebenwinkelaxiom und nach Umformung: $ \ |\beta '|=180-|\beta | $
Nun gilt: $ |\alpha |\ <180-|\beta | $
Nach Umformung erhält man: $ |\alpha |+|\beta |\ <180 $.
