Lösung von Aufgabe 12.6
Beweisen Sie: Wenn $ \ P $ ein Punkt außerhalb der Geraden $ \ g $ ist, dann gibt es eine Gerade $ \ h $, die durch $ \ P $ geht und parellel zu $ \ g $ ist.
Versuch 1
VSS: Punkt $ \ P $, Gerade $ \ g $, $ P\not \in g $
Beh: Gerade $ \ h $, $ P\in h $, $ g\|h $
| Nr. | Beweisschritt | Begründung |
|---|---|---|
| (I) | $ \exists Q:Q\in g $, $ \exists R:R\in g $ | (Axiom I.0) |
| (II) | Gerade $ \ PQ $ | (Axiom I.1) |
| (III) | das Maß von $ |\angle PQR|=\alpha $ im Punkt $ \ P $ an Gerade $ \ PQ $, am Strahl $ \ {PQ^{-}} $ in der Halbebene $ \ {PQ,R^{+}} $ abtragen. Es exisitert genau ein $ \ {PS^{+}} $ mit dem Maß $ \ |\alpha {'}|=|\alpha | $ | (Winkelkonstruktionsaxiom), (Winkelmaßaxiom), (I), (II) |
| (IV) | $ \ \alpha ',\alpha $ sind Stufenwinkel | (III), (Def. Stufenwinkel) |
| (V) | $ \ PS $ = $ \ h $ | (Axiom I.1) |
| (V) | $ \ g\|h $ | (Umkehrung Stufenwinkelsatz), (IV), (V) |
--> Beh ist wahr.
--Löwenzahn 11:07, 14. Jul. 2010 (UTC)
Versuch 2
Mal wieder formlos: folgender Vorschlag:
Zu beweisen sind Existenz und Eindeutigkeit.
Die Gerade h, die durch den Punkt P geht kann sich zu g auf drei Arten verhalten:
- Fall: ist identisch => Widerspruch zur Voraussetzung
- Fall: schneidet h
- Fall: ist parallel zu h, also schnittpunktfrei
Fall 2 und 3 sind laut Vor. möglich, also existiert auf jeden Fall eine parallele Gerade.
Die Eindeutigkeit beweise ich indirekt.
Annahme: Es gibt genau zwei Parallelen durch P, die zu g parallel stehen, nämlich h und i, die nicht identisch sind.
(1) P ist sowohl Element von h, als auch von i. Die Geraden h und i sind damit identisch (Widerspruch Annahme) oder P ist ihr Schnittpunkt. Damit sind i und h aber nicht zueinander parallel (da nicht schnittpunktfrei). Parallelität ist transitiv. Wenn h und i nicht parallel sind, dann gilt entweder h parallel zu g oder i parallel zu g. Damit gibt es wieder nur eine Gerade durch P, die zu g parallel ist und nicht zwei.
--Nicola 15:49, 14. Jul. 2010 (UTC)
