Lösung von Aufgabe 4.2 (WS 16/17)
Satz: In einem Dreieck $ {\overline {ABC}} $ mit $ \left|AC\right|<\left|BC\right|<\left|AB\right| $ sind die Winkel $ \alpha $ und $ \beta $ nicht kongruent zueinander.
a) Welcher Beweis ist korrekt?
Begründen Sie ausführlich! (Der Basiswinkelsatz und seine Umkehrung seien bereits bewiesen.)
Beweis 1
Sei $ {\overline {ABC}} $ ein Dreieck.
- Voraussetzung
- $ \left|AC\right|<\left|BC\right|<\left|AB\right| $.
- Behauptung
- $ \left|\alpha \right|\neq \left|\beta \right| $
- Beweis
Da nach Voraussetzung $ \left|AC\right|\neq \left|BC\right| $ gilt, folgt nach dem Basiswinkelsatz $ \left|\alpha \right|\neq \left|\beta \right| $.
Damit ist der Satz bewiesen.
Beweis 2
Sei $ {\overline {ABC}} $ ein Dreieck.
- Voraussetzung
- $ \left|AC\right|<\left|BC\right|<\left|AB\right| $.
- Behauptung
- $ \left|\alpha \right|\neq \left|\beta \right| $
- Beweis
Nach Umkehrung des Basiswinkelsatzes gilt: Wenn $ \left|\alpha \right|=\left|\beta \right| $ dann gilt $ \left|AC\right|=\left|BC\right| $.
Die Kontraposition der Umkehrung lautet also: Wenn $ \left|AC\right|\neq \left|BC\right| $ dann gilt $ \left|\alpha \right|\neq \left|\beta \right| $.
Da die Kontraposition gleichwertig ist, kann man auch diese beweisen.
Da nach Voraussetzung gilt: $ \left|AC\right|<\left|BC\right| $, d.h. $ \left|AC\right|\neq \left|BC\right| $, kann nach Kontraposition der Umkehrung des Basiswinkelsatzes direkt gefolgert werden: $ \left|\alpha \right|\neq \left|\beta \right| $.
Damit ist der Satz bewiesen.
