Lösung von Aufgabe 5.6 P (SoSe 18)

Es seien eine Ebene E (aufgefasst als Punktmenge) und eine Gerade g in E gegeben. Wir betrachten folgende Relation $\mathrm{\Theta }$ ($\mathrm{\Theta }$ ist ein willkürlich gewähltes Symbol, um die Relation nicht mit dem unauffälligen Buchstaben R bezeichnen zu müssen) in der Menge $E\setminus g$ (also alle Punkte der Ebene E, die nicht der Geraden g angehören): Für beliebige $A,B\in E\setminus g$ gilt: $A\mathrm{\Theta }B:\iff \overline{AB}\cap g=\{\}$.
a) Beschreiben Sie die Relation $\mathrm{\Theta }$ verbal und veranschaulichen Sie diese Relation.
b) Begründen Sie anschaulich, dass $\mathrm{\Theta }$ eine Äquivalenzrelation ist. Formulieren Sie dazu die Eigenschaften von Äquivalenzrelationen konkret auf die Relation $\mathrm{\Theta }$ bezogen.
Hinweis: Sie können die Transitivität noch nicht exakt beweisen; in dieser Aufgabe geht es zunächst darum, die Relationseigenschaften als geometrische Eigenschaften zu interpretieren und zu verstehen.

Lösung:

a) Es existiert eine Relation zwischen zwei Punkten, entweder oberhalb der Geraden g oder unterhalb der Geraden g. Diese ist reflexiv und symmetrisch. Aus der Aufgabe b entnehmen ich, dass diese Relation ebenfalls transitiv ist. Dies können wir wenn wir einen Dritten Punkt hätten mit dem Satz von Peach begründen.
b) Reflexiv: Allquantor A,B sind Element von gA+ : A=B und B=A

  Symmetrisch: 

  Transitiv:  

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