Lösung von Zusatzaufgabe 10.1 S

Versuch Lerngruppe Nummero6/Tchu Tcha Tcha:
a) Wenn in einem Dreieck zwei Seiten kongruent sind, dann sind die Basiswinkel kongruent.
Wenn in einem Dreieck zwei Innenwinkel kongruent sind, dann sind zwei Seiten kongruent.

b) BEWEIS BASISWINKELSATZ

Vor. $a\widetilde{=}b$
Beh.: $\alpha \widetilde{=}\beta$

(1) $a\widetilde{=}b$ // Vor.
(2) es existiert w (die WH von $\gamma$) // Ex. & Eind. der WH
(3) Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \ w \cap \overline{AB} = \{S}} // Vor., (1), Lemma 1
(4) Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \left| \angle ACS \right| \tilde {=} \left| \angle DCS \right| \tilde} // (2),(3), Def. WH
(5) $\overline{CS}\widetilde{=}\overline{CS}$ // trivial, Vor., (3)
(6) $\overline{ACS}=\overline{ACS}$ // (1),(4),(5), SWS
(7) $\mathrm{\angle }SAC\widetilde{=}\mathrm{\angle }SBC$ // (6), Dreieckskongruenz
(8) Beh. stimmt // (7)
qed

d) BEWEIS UMKEHRUNG BASISWINKELSATZ

Vor.: $\alpha \widetilde{=}\beta$
Beh.: $a\widetilde{=}b$

(1) $\alpha \widetilde{=}\beta$ // Vor.
(2) es existiert w (die WH von $\gamma$) // Ex. & Eind. der WH
(3) Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \ w \cap \overline{AB} = \{S}} // Vor., (1), Lemma 1
(4) Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \left| \angle ACS \right| \tilde {=} \left| \angle BCS \right| \tilde} // (2),(3), Def. WH
(5) $\mathrm{\angle }ASC\widetilde{=}\mathrm{\angle }BSC$ // nach Vor., (4) und Innenwinkelsumme im Dreieck
(6) $\overline{CS}\widetilde{=}\overline{CS}$ // trivial, (3)
(7) $\overline{ASC}\widetilde{=}\overline{BSC}$ // (4),(5),(6),WSW
(8) $a\widetilde{=}b$ // (7), Dreieckskongruenz
(9) Beh. stimmt // (8)
qed
--Tchu Tcha Tcha 13:53, 30. Jun. 2012 (CEST)

Meine Lösung:
<document>RitterSport_IMG.pdf</document>
@Tchu Tcha Tcha: aha, SWS. Das ist auch ne Idee;)
--RitterSport 12:06, 10. Jul. 2012 (CEST)

Anmerkungen Buchner zu den Beweisen "Umkehrung Basiswinkelsatz" von Tchu Tcha Tcha und RitterSport

Zum Beweis von Tchu Tcha Tcha:
Sieht zwar gut aus, es gibt aber ein Probelm: Wir haben den Satz zur Innenwinkelsumme im Dreieck noch nicht. Somit kriegen Sie den Beweis so nicht hin, weil Schritt 5 können Sie anders nicht begründen.

Zum Beweis von RitterSport:
Sieht zwar auch gut aus, aber was machen Sie, wenn $\left|CM\right|<\left|AM\right|bzw.\left|BM\right|$? Das kann ja durchaus passieren, und dann können Sie den Satz SsW nimmer anwenden...

Ich gebe Ihnen mal eine Idee mit auf den Weg: Man könnte ja die Mittelsenkrechte m von$\overline{AB}$ konstruieren. Wenn Sie jetzt zeigen, dass $C\in m$ haben Sie mithilfe des Mittelsenkrechtenkriteriums die Behauptung bewiesen.
Also konkret:
Zeigen Sie, dass $C\in m$ (mit Widerspruchsbeweis). --Buchner 16:48, 11. Jul. 2012 (CEST)

d) Lösungsversuch 2:
BEWEIS UMKEHRUNG BASISWINKELSATZ

Vor.: $\alpha \widetilde{=}\beta$
Beh.: $a\widetilde{=}b$
Annahme: a NICHT kongruent b

1.Fall: $C\in ̸m_c$ (A1)

Da nach dem Mittelsenkrechtenkriterium für alle Punkte P der Mittelsenkrechten $m_c$ gilt:
$\left|PA\right|=\left|PB\right|$
, muss unsere Annahme stimmen, wenn $C\in ̸m_c$ (A1).
Behauptung ist zu verwerfen.

2.Fall: $C\in m_c$ (A2)

(1) Es existiert $m_c$ (die Mittelsenkrechte von $\overline{AB}$ ) // Def. Mittelsenkrechte
(2) Wenn (A2) gilt, dann gilt nach dem Mittelsenkrechtenkriterium:$\left|CA\right|=\left|CB\right|$ // (A2), Mittelsenkrechtenkriterium
(3) $a\widetilde{=}b$ // (2)
(4) Behauptung stimmt // (3)
qed.
Wäre dieser Beweis korrekt? --Tchu Tcha Tcha 21:15, 11. Jul. 2012 (CEST)