Linearkombinationen 2012 13

Darstellung von Vektoren mittels anderer Vektoren Linearkombinationen Definition (Linearkombination) Als Linearkombination der Vektoren $\overrightarrow{v_1},\overrightarrow{v_2},...,\overrightarrow{v_n}$ bezeichnet man den Vektor $\overrightarrow{x}={\lambda }_1\cdot \overrightarrow{v_1}+{\lambda }_2\cdot \overrightarrow{v_2}+...+{\lambda }_n\cdot \overrightarrow{v_n}=\sum _{i=1}^n{\lambda }_i\cdot \overrightarrow{v_i}$ (mit ${\lambda }_1,{\lambda }_2,...,{\lambda }_n\in \mathbb{ℝ}$). Lineare Abhängigkeit Idee der linearen Abhängigkeit: Es existiert ein Vektor der eine Linearkombination der anderen Vektoren ist. Lineare Abhängigkeit von zwei Vektoren Zwei Vektoren $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$ sind linear abhängig, wenn sie ein Vielfaches voneinander sind, bzw. wenn einer der beiden Vektoren ein Linearkombination des anderen ist. Anders formuliert: Zwei Vektoren sind linear abhängig, wenn sie zur selben Pfeilklasse gehören, also parallel sind. Beispiel: $\overrightarrow{a}=\left(\begin{array}{c}2\\ 3\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{c}8\\ 12\end{array}\right)$ $4\cdot \overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}$ Die Vektoren $\overrightarrow{b},\overrightarrow{c},\overrightarrow{d}$ sind linearabhängig zu $\overrightarrow{a}$ Gegenbeispiel: $\overrightarrow{a}=\left(\begin{array}{c}2\\ 3\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{c}8\\ 15\end{array}\right)$ Es gibt keine reelle Zahl, die mit $\overrightarrow{a}$ multipliziert den $\overrightarrow{b}$ ergibt. Die Vektoren $\overrightarrow{b},\overrightarrow{c},\overrightarrow{d}$ sind nicht linearabhängig zu $\overrightarrow{a}$ --Jessy* 18:36, 18. Jan. 2013 (CET)