Lösung von Aufg. 12.2

Beweisen Sie:
Korollar 2 zum schwachen Außenwinkelsatz

Die Summe der Größen zweier Innenwinkel eines Dreiecks ist stets kleiner als 180.

Lösung--Schnirch 10:19, 4. Feb. 2011 (UTC)

Voraussetzung: Dreieck $\overline{ABC}$ mit den schulüblichen Bezeichnungen.
Behauptung: Die Summe der Größen zweier Innenwinkel eines Dreiecks ist stets kleiner als 180.

Nr.	Beweisschritt	Begründung
(I)	Es gilt: $|\alpha |<|{\beta }^{\prime }|$ und $|\gamma |<|{\beta }^{\prime }|$	schwacher Außenwinkelsatz
(II)	$|\beta |+|{\beta }^{\prime }|=180$	Axiom IV.4: (Supplementaxiom): Nebenwinkel sind supplementär.
(III)	$|{\beta }^{\prime }|=180-|\beta |$	(II), Rechnen in R
(IV)	$|\alpha |<180-|\beta |$ und $|\gamma |<180-|\beta |$	(I), (III), Rechnen in R
(V)	$|\alpha |+|\beta |<180$ und $|\gamma |+|\beta |<180$	(IV), Rechnen in R
(VI)	Noch zu zeigen: $|\alpha |+|\gamma |<180$
(VII)	Es gilt: $|\beta |<|{\alpha }^{\prime }|$ und $|\gamma |<|{\alpha }^{\prime }|$	schwacher Außenwinkelsatz
(VII)	weitere Schritte analog zu Schritte (II) bis (V)

vorangegangene Lösung

Vor: Dreieck ABC
Beh: o.B.d.A $\alpha$+ $\beta$ < 180
$\alpha$+ $\gamma$ < 180
$\beta$ + $\gamma$ < 180

1)$\beta$ und $\beta 1$ sind Nebenwinkel und supplementär__________Def. Nebenwinkel und Supplementaxiom
2) $\beta$+$\beta 1$ = 180_____________________Def. supplementär
3)$\beta 1$ > $\alpha$ ___________________schwacher Außenwinkelsatz
4)180-$\beta$ > $\alpha$_____________2) und 3)(2) in 3) Einsetzen) und Rechnen in R
5)180 > $\alpha$+$\beta$________________4)
6)$\alpha$+ $\beta$ < 180___________________5)--Engel82 17:31, 19. Jan. 2011 (UTC)