Lösung von Aufgabe 10.3

Satz VI.1: Existenz und Eindeutigkeit der Mittelsenkrechten (in Formelschreibweise)

Lösung--Schnirch 13:14, 21. Jul. 2010 (UTC)

Nach dem bereits bewiesenen Satz über die Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunkts, existiert zu jeder Strecke $\overline{AB}$ genau ein Mittelpunkt $M$. Nach dem bereits bewiesenen Satz über die Existenz und Eindeutigkeit einer Senkrechten zu einer Geraden $g$ durch einen beliebigen Punkt $P\in g$ existiert genau eine Senkrechte auf eine Gerade $AB$ durch den Mittelpunkt $M$ der Strecke $\overline{AB}$. Diese existierende und eindeutige Senkrechte ist nach Definition die Mittelsenkrechte durch den Punkt $M$ auf $\overline{AB}$.

Beweis Versuch 1:

Satz VI.1: Existenz und Eindeutigkeit der Mittelsenkrechten:
Jede Stecke hat in jeder Ebenen, zu der die Strecke vollständig gehört, genau eine Mittelsenkrechte.

Als Voraussetzung ist die Strecke $\overline{AB}$, die Ebene E zu benennen.
Nun ist zu zeigen, dass es in $E$ eine Gerade $m$ gibt, die die Mittelsenkrechte zur Strecke $\overline{AB}$ ist. Und, dass es nicht mehr als diese eine gibt.

(1) Es gibt ein Punkt $Q$, der zur Ebene E gehört, aber nicht zur Geraden $AB$.
(2) Es existiert genau ein Mittelpunkt $M$ auf der Strecke $\overline{AB}$, nach Existenz und Eindeutigkeit Mittelpunkt.
(3) Es existiert ein Punkt $P$in der Halbebenen $AB,Q^{+}$ und somit ein genau ein Strahl $M{P}^{+}$. Der Winkel $\mathrm{\angle }PMB$ hat das Maß 90, nach Winkelkonstruktionsaxiom.
(4) Die Gerade $PM$ ist Mittelsenkrechte der Strecke $\overline{AB}$.

Die Existenz und die Eindeutigkeit (wegen Winkelkonstruktionsaxiom) ist gezeigt.

qed --Löwenzahn 17:30, 1. Jul. 2010 (UTC)