Lösung von Aufgabe 12.3

Aufgabenstellung

Beweisen Sie:
Korollar 2 zum schwachen Außenwinkelsatz

Die Summe der Größen zweier Innenwinkel eines Dreiecks ist stets kleiner als 180.

Lösung 1

Die Beweisführung ist natürlich sehr ähnlich zu Aufgabe 12.2.
Der Einfachheit halber werden die Winkel mit $\alpha \beta \gamma$ bezeichnet, die jeweiligen Außenwinkel sind dann ${\alpha }^{\prime }{\beta }^{\prime }{\gamma }^{\prime }$.
Voraussetzung: Dreieck $\overline{ABC}$
Behauptung; Die Summe der Größen zweier Innenwinkel eines Dreiecks ist stets kleiner als 180.
Indirekter Beweis. Annahme: Die Summe der Größen zweier Innenwinkel eines Dreiecks kann 180 oder mehr betragen.

Nr.	Beweisschritt	Begründung
(I)	Es gilt: $|\alpha |<|{\beta }^{\prime }|$ und $|\gamma |<|{\beta }^{\prime }|$	schwacher Außenwinkelsatz
(II)	$|\beta |+|{\beta }^{\prime }|=180$	Axiom IV.4: (Supplementaxiom): Nebenwinkel sind supplementär.
(III)	$|{\beta }^{\prime }|=180-|\beta |$	(II), Algebraische Umformung
(IV)	$|\alpha |<180-|\beta |$ und $|\gamma |<180-|\beta |$	(I), (III)
(V)	$|\alpha |+|\beta |<180$ und $|\gamma |+|\beta |<180$	(IV), Algebraische Umformung
(VI)	Es gilt: $|\beta |<|{\alpha }^{\prime }|$ und $|\gamma |<|{\alpha }^{\prime }|$	schwacher Außenwinkelsatz
(VII)	$|\alpha |+|\gamma |<180$ und $|\beta |+|\gamma |<180$	Beweis zusammengefasst, analog zu Schritte (I) bis (V)

Aus (V) und (VII) folgt, dass die Annahme verworfen werden muss.

--Heinzvaneugen 01:55, 12. Jul. 2010 (UTC)
== Lösung 2 ==
Sei ABC ein Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen. Laut dem schwachen Außenwinkelsatz gilt, dass $|\alpha |<|{\beta }^{\prime }|$.
Zudem gilt wegen Nebenwinkelaxiom und nach Umformung: $|{\beta }^{\prime }|=180-|\beta |$ Nun gilt: $|\alpha |<180-|\beta |$ Nach Umformung erhält man: $|\alpha |+|\beta |<180$.