Lösung von Aufgabe 13.5
Man beweise: Ein Punkt $ \ P $ gehört genau dann zur Winkelhalbierenden des Winkels $ \ \alpha $, wenn er zu den Schenkeln von $ \ \alpha $ jeweils denselben Abstand hat.
Versuch 1
Da es sich bei diesem Satz um eine Äquivalenzrelation handelt ("genau dann") muss die "Hin- und Rückrichtung" bewiesen werden.
1. Hinrichtung: "Wenn ein Punkt P zu den Schenkeln von $ \ \alpha $ jeweils denselben Abstand hat, dann gehört er zur Winkelhalbierenden des Winkels $ \ \alpha $."
VSS: $ {\overline {PB}}\cong {\overline {PA}} $, $ \alpha \cong \angle ASB\cong \angle pq $
Beh: $ P\in $ Winkelhalbierende von $ \ \alpha $
Kommentar --Heinzvaneugen 16:18, 20. Jul. 2010 (UTC): siehe Diskussion
| Nr. | Beweisschritt | Begründung |
|---|---|---|
| (I) | $ \ A $ sei der Lotfußpunkt von $ \ P $ auf den Strahl $ \ p $ und $ \ B $ sei der Lotfußpunkt von $ \ P $ auf den Strahl $ \ q $ | (Existenz und Eindeutigkeit Lot) |
| (II) | $ {\overline {PB}}\cong {\overline {PA}} $ | (VSS) |
| (III) | $ {\overline {SP}}\cong {\overline {SP}} $ | (trivial) |
| (IV) | $ |\angle SBP|=|\angle SAP|=90 $ | (Definition Lot) |
| (V) | $ \angle SAP $ ist größter Winkel im Dreieck $ {\overline {SAP}} $ | (Satz: höchstens ein rechter Winkel im Dreieck), (IV) |
| (VI) | $ \angle SBP $ ist größter Winkel im Dreieck $ {\overline {SBP}} $ | (Satz: höchstens ein rechter Winkel im Dreieck), (IV) |
| (VII) | $ \angle SBP $ liegt der Seite $ {\overline {SP}} $ gegenüber $ \angle SAP $ liegt der Seite $ {\overline {SP}} $ gegenüber |
(Satz: größter Winkel liegt längsten Seite gegenüber),(V), (VI) |
| (VIII) | $ {\overline {SBP}}\cong {\overline {SAP}} $ | (SSW), (VII), (IV), (III), (II) |
| (IX) | $ \angle ASP\cong \angle BSP $ | (VIII), (Def. Dreieckskongruenz) |
| (X) | $ |\angle ASP|+\angle BSP|=|\angle ASB|\rightarrow |\angle ASP|+|\angle ASP|=|\angle ASB| $ | (IX), (Def. Winkelhalbierende), (Winkeladditionsaxiom) |
| (XI) | $ {SP^{+}}\cong $ Winkelhalbierenden von $ \alpha \ $ --> $ \ P\in $ Winkelhalbierende von $ \ \alpha $ | (X) |
--> Beh. wahr qed
2. Rückrichtung: "Wenn ein Punkt $ \ P $ zur Winkelhalbierenden des Winkels $ \ \alpha $ gehört, dann hat er zu den Schenkeln von $ \ \alpha $ jeweils denselben Abstand."
VSS: $ P\in $ Winkelhalbierende von $ \ \alpha $ und $ \alpha \cong \angle ASB\cong \angle pq $
Beh: $ {\overline {PB}}\cong {\overline {PA}} $
| Nr. | Beweisschritt | Begründung |
|---|---|---|
| (I) | $ \ P\in $ Winkelhalbierende von $ \ \alpha $ | (VSS) |
| (II) | $ \ A $ sei der Lotfußpunkt von $ \ P $ auf den Strahl $ \ p $ und $ \ B $ sei der Lotfußpunkt von $ \ P $ auf den Strahl $ \ q $ | (Existenz und Eindeutigkeit des Lotes) |
| (III) | $ |\angle SBP|=|\angle SAP|=90 $ | (II), (Def. Lot) |
| (IV) | $ |\angle ASP|=|\angle BSP| $ | (Def. Winkelhalbierende) |
| (V) | $ |\angle ASP|+|\angle SPA|+|\angle SAP|=180 $ | (Innenwinkelsumme im Dreieck) |
| (VI) | $ |\angle BSP|+|\angle SPB|+|\angle SBP|=180 $ | (Innenwinkelsumme im Dreieck) |
| (VII) | $ |\angle ASP|+|\angle SPA|+|\angle SAP|=|\angle BSP|+|\angle SPB|+|\angle SBP| $ | (V), (VI), (rechnen mit reellen Zahlen) |
| (VIII) | $ |\angle SPA|+|\angle SAP|=|\angle SPB|+|\angle SBP| $ | (VII), (IV), (rechnen mit reellen Zahlen) |
| (IX) | $ |\angle SPA|=|\angle SPB| $ | (IX), (III), (rechnen mit reellen Zahlen) |
| (X) | $ {\overline {SP}}\cong {\overline {SP}} $ | (trivial) |
| (XI) | $ {\overline {SBP}}\cong {\overline {SAP}} $ | (WSW), (X), (IX), (IV) |
| (XII) | $ {\overline {PA}}\cong {\overline {PB}} $ | (XI), (Def. Dreieckskongruenz) |
-->Beh wahr. qed
Somit ist die Äquivalenz gezeigt --Löwenzahn 11:35, 17. Jul. 2010 (UTC)
