Natürliche Zahlen mit Addition

Wir überprüfen ob es sich bei $[\mathbb{\mathbb{N}},+]$ um eine Gruppe handelt:

(1) Abgeschlossenheit

Beispiel: $a=4,b=5,a+b=4+5=9\in \mathbb{\mathbb{N}}$ passt.

(2) Assoziativität

Beispiel: $a=3,b=2,c=4,(a+b)+c=(3+2)+4=5+4=9=3+6=3+(2+4)=a+(b+c)$ passt.

(3) neutrales Element

Beispiel: $a=4,n=0,a+n=4+0=4,n\in \mathbb{\mathbb{N}}$ passt.

(4) inverses Element

Beispiel: $a=4,-a=-4,a+-a=4+(-4)=0=n,-a\notin \mathbb{\mathbb{N}}$ passt nicht!

Somit handelt es sich bei $[\mathbb{\mathbb{N}},+]$ nicht um eine Gruppe.