Probeklausur WS10/11

Aufgabe 1

a) Definieren Sie den Begriff: "Konkave Punktmenge" ohne den Begriff "konvex" zu gebrauchen.

b) Begründen Sie, dass der Schnitt einer offenen Halbebene E mit einer Halbgeraden, die zwei Punkte mit E gemeinsam hat, auf jeden Fall eine konvexe Punktmenge ist.

c) Zeigen Sie an einem Beispiel, dass die Vereinigungsmenge des Inneren zweier Drachenvierecke, die keine Rauten sind, konkav sein kann.

Lösung von Aufg. 1

Aufgabe 2

Es seien A und B zwei verschiedene Punkte. Welche Ergebnisse erzielen Sie nach den folgenden Mengenoperationen?

a) $A{B}^{+}\cap B{A}^{+}=$ <br\>

b) $A{B}^{-}\cap B{A}^{-}=$ <br\>

c) $AB\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{m}\mathrm{K}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{m}A\mathrm{d}\mathrm{u}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{h}B=$

d)$AB\cap BA=$ <br\>

Lösung von Aufg. 2

Aufgabe 3

Wir gehen von folgender Implikation aus: Wenn ein Punkt P zur Mittelsenkrechten der Strecke gehört, dann hat er zu den Punkten A und B ein und denselben Abstand.
a) Formulieren Sie die Kontraposition dieser Implikation.
b) Formulieren Sie die Umkehrung dieser Implikation.

Lösung von Aufg. 3

Aufgabe 4

Definieren Sie den Begriff Strahl $A{B}^{+}$. Verwenden Sie dabei den Begriff Strecke.

Lösung von Aufg. 4

Aufgabe 5

Definition (gemeiner Dreiecksschneider): Unter einem gemeinen Dreieckschneider versteht man eine Gerade, die alle drei offenen Seiten eines Dreiecks schneidet.

Beschreiben Sie die Menge aller gemeinen Dreiecksschneider und begründen Sie Ihre Aussage.

Lösung von Aufg. 5

Aufgabe 6

Es seien A, B und C drei paarweise verschiedene Punkte. Beweisen Sie:

$Zw(A,B,C)\Rightarrow \mathrm{\neg }Zw(B,A,C)$ <br\>

Lösung von Aufg. 6

Aufgabe 7

Gegeben seien drei paarweise verschiedene und kollineare Punkte A, B und C in einer Ebene E. Ferner sei eine Gerade g Teilmenge der Ebene E, wobei keiner der Punkte A, B und C auf g liegen möge. Beweisen Sie folgenden Zusammenhang:

$\overline{AB}\cap g\ne \{\}\wedge \overline{BC}\cap g=\{\}\Rightarrow \overline{AC}\cap g\ne \{\}$

Lösung von Aufg. 7