Quiz der Woche 5 (WS 11/12)

Es sei $ \ R $ ein Äquivalenzrelation auf der Menge $ \ M $. Wir zerlegen $ \ M $ derart in Teilmengen $ \ T_{1},T_{2},T_{3},...,T_{n},... $, dass gilt: Jede der Teilmengen besteht aus all den Elementen von $ \ M $, die in der Relation $ \ R $ zueinander stehen.
Satz:
Die Zerlegung von $ \ M $ in die Teilmengen $ \ T_{1},T_{2},T_{3},...,T_{n},... $ ist eine Klasseneinteilung von $ \ M $.

Beispiel zu dieser Idee, Klassen einzuteilen

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1 Die Idee, eine Klasse durch eines ihrer Elemente zu beschreiben.
{Wir wollen versuchen, die Art und Weise der Generierung einer beliebigen der Teilmengen $ \ T_{1},T_{2},T_{3},...,T_{n},... $ formal zu beschreiben. Diesbezüglich stellen wir fest, dass es sinnvoller ist, nicht mit Zahlen, sondern mit Elementen aus $ \ M $ zu indizieren. Unter der Klasse $ \ T_{a} $ verstehen wir dann alle Elemente von $ \ M $, die mit dem Element $ \ a $ aus M in der Relation $ \ R $ stehen. Welche der folgenden formalen Definitionen ist bezüglich dieser Idee korrekt?

	$ \bigwedge _{a\in M}:T_{a}:=\lbrace b|b\in M\wedge bRa\rbrace $
	$ \bigwedge _{b\in M}:T_{b}:=\lbrace x|x\in M\wedge xRb\rbrace $

2 Überlegungen zur Voraussetzung

Voraussetzung: $ R $ ist eine

Das bedeutet:

(R) $ R $ ist

(S) $ R $ ist

(T) $ R $ ist

3 Überlegungen zur Behauptung

Behauptung: Die Einteilung von $ \ M $ in die Teilmengen $ \ T_{1},T_{2},T_{3},...,T_{n},... $ ist eine von $ \ M $.

Das bedeutet, dass wir zu zeigen haben:

(L) Der Durchschnitt zweier verschiedener Teilmengen $ \ T_{i} $ und $ \ T_{j} $ ist die

(S) Die Vereinigungsmenge aller Teilmengen $ \ T_{1},T_{2},T_{3},...,T_{n},... $ ist die Menge

(0) Weder $ \ T_{1} $ noch $ \ T_{2} $ noch irgendeine andere der Mengen $ \ T_{1},T_{2},T_{3},...,T_{n},... $ ist .