Serie 03 zum 08.11.19

Aufgabe 03.01 Bilden Sie die Umkehrung und Kontraposition und geben Sie den Wahreheitswert von Umkehrung und Kontraposition an: Wenn ein Viereck ein Parallelogramm ist, dann halbieren sich seine Diagonalen. Aufgabe 03.02 Drei Punkte heißen kollinear, wenn es eine Gerade gibt, auf der alle drei Punkte liegen. Geraden sind eindimensionale geometrische Objekte. Wir gehen eine Dimension höher und betrachten Ebenen. Das Pendant zu kollinear heißt komplanar. Defineren Sie den Begriff komplanar. Wie viele Punkte braucht man wenigstens, um sinnvoll davon sprechen zu können, dass eine Menge von Punkten komplanar ist? Aufgabe 03.03 In der ebenen Inzidenzgeometrie wird durch das Axiom I.3 gefordert, dass wenigstens drei nicht kollineare Punkte existieren. Wie lautet das entsprechende Axiom für die räumliche Inzidenzgeometrie bzgl. der Komplanarität? Aufgabe 03.04 Es seien A, B, C drei Punkte. Beweisen Sie: $\text{nkoll}(A,B,C)\Rightarrow A\equiv ̸B\equiv ̸C\equiv ̸A$. Aufgabe 03.05 Beweisen Sie: Wenn zwei verschiedene Ebenen einen Punkt gemeinsam haben, dann haben sie eine Gerade gemeinsam. Aufgabe 03.06 Wir setzen jetzt die Schulgeometrie voraus. Es sei $\overline{AB}$ ein Durchmesser des Kreises $k$. Beweisen Sie: $C\in k\Rightarrow |\mathrm{\angle }A,C,B|=90^{\circ }$. Aufgabe 03.07 Es gelte der Satz des Pythagoras. Es sei $\overline{ABC}$ eine rechtwinkliges Dreieck mit dem rechten Winkel bei $C$. Die Kathete $\overline{BC}$ bezeichnen wir mit $a$ und die andere Kathete mit $b.$$L$ sei der Fußpunkt der Höhe dieses Dreiecks auf die Hypotenuse $c$. Der Hypotenusenabschnitt $\overline{AL}$ sei mit $q$ bezeichnet, der andere Hypotenusenabschnitt mit $p$. Beweisen Sie: $h^2=p\cdot q$. Aufgabe 03.08 Wir setzen die Schulgeometrie voraus. Es seien $k_1,k_2$ und $k_3$ zwei Kreise mit den Mittelpunkten $M_1,M_2$ und $M_3$. Beweisen Sie: Wenn $k_1\cap k_2\cap k_3=\{S_1,S_2\}$ dann $\text{koll}(M_1,M_2,M_3)$. (Hinweis: Das Mittelsenkrechtenkriterium hilft!) Aufgabe 03.09 Nach Aufgabe 03.08 dürfte Ihnen das folgende leicht fallen. Begründen Sie: Drei paarweise verschiedene Kreise haben maximal einen Punkt gemeinsam. Aufgabe 03.10 Definieren Sie den Begriff Nebenwinkel ohne dabei die Größe von Winkeln zu verwenden.