Verkettung von drei Geradenspiegelungen SoSe 15

Verkettung von drei Geradenspiegelungen

Aufgabe: Welche prinzipiellen Möglichkeiten bezüglich der Lage der Achsen gibt es bei der Verkettung von drei Geradenspiegelungen? (gerne auch als Bild).

Satz X.1:

Die Verkettung von drei Geradenspiegelungen $S_a\circ S_b\circ S_c$ an zueinander parallelen Geraden a, b und c ist eine Geradenspiegelung an einer Geraden d mit $d||a$ und $\left|ab\right|=\left|dc\right|$.

Beweis:

Satz X.2:

Die Verkettung von drei Geradenspiegelungen $S_a\circ S_b\circ S_c$, an drei Geraden a, b und c die sich in einem Punkt S schneiden (kopunktal), ist eine Geradenspiegelung an einer Achse d, die durch den Punkt S verläuft mit $\left|\mathrm{\angle }ab\right|=\left|\mathrm{\angle }dc\right|$.

Beweis:

Definition X.1 (Schub- oder Gleitspiegelung)

Eine Schub- oder Gleitspiegelung ist eine Abbildung, die bei der Verkettung dreier Geradenspiegelungen $S_a\circ S_b\circ S_c$ entsteht, wenn die zwei Geraden a und b parallel zueinander und die dritte Gerade c senkrecht dazu steht.

Experimentieren Sie mit der nachfolgenden GeoGebra-Applikation. Welche Eigenschaften der Schubspiegelung entdecken Sie?

Satz X.3:

Die Verkettung dreier Geradenspiegelungen, deren Achsen nicht alle parallel zueinander oder kopunktal sind, ist stets eine Schubspiegelung.
Beweis: